Løs 6x^2-9x-60=0

$$6 x ^ { 2 } - 9 x - 60 = 0$$

Løs for x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=4$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Del begge sidene på 3.

$$2x^{2}-3x-20=0$$

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 2x^{2}+ax+bx-20. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-3 ab=2\left(-20\right)=-40$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er negativ, har negative tallet større absolutt verdi enn positiv. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -40.

$$1,-40 2,-20 4,-10 5,-8$$

Beregn summen for hvert par.

$$1-40=-39 2-20=-18 4-10=-6 5-8=-3$$

Løsningen er paret som gir Summer -3.

$$a=-8 b=5$$

Skriv om 2x^{2}-3x-20 som \left(2x^{2}-8x\right)+\left(5x-20\right).

$$\left(2x^{2}-8x\right)+\left(5x-20\right)$$

Faktor ut 2x i den første og 5 i den andre gruppen.

$$2x\left(x-4\right)+5\left(x-4\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-4 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-4\right)\left(2x+5\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-4=0 og 2x+5=0.

$$x=4 x=-\frac{5}{2}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$6x^{2}-9x-60=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 6 for a, -9 for b og -60 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 6\left(-60\right)}}{2\times 6}$$

Kvadrer -9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 6\left(-60\right)}}{2\times 6}$$

Multipliser -4 ganger 6.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-24\left(-60\right)}}{2\times 6}$$

Multipliser -24 ganger -60.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+1440}}{2\times 6}$$

Legg sammen 81 og 1440.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{1521}}{2\times 6}$$

Ta kvadratroten av 1521.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±39}{2\times 6}$$

Det motsatte av -9 er 9.

$$x=\frac{9±39}{2\times 6}$$

Multipliser 2 ganger 6.

$$x=\frac{9±39}{12}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{9±39}{12} når ± er pluss. Legg sammen 9 og 39.

$$x=\frac{48}{12}$$

Del 48 på 12.

$$x=4$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{9±39}{12} når ± er minus. Trekk fra 39 fra 9.

$$x=-\frac{30}{12}$$

Forkort brøken \frac{-30}{12} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 6.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=4 x=-\frac{5}{2}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-9x-60=0$$

Legg til 60 på begge sider av ligningen.

$$6x^{2}-9x-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

Når du trekker fra -60 fra seg selv har du 0 igjen.

$$6x^{2}-9x=-\left(-60\right)$$

Trekk fra -60 fra 0.

$$6x^{2}-9x=60$$

Del begge sidene på 6.

$$\frac{6x^{2}-9x}{6}=\frac{60}{6}$$

Hvis du deler på 6, gjør du om gangingen med 6.

$$x^{2}+\left(-\frac{9}{6}\right)x=\frac{60}{6}$$

Forkort brøken \frac{-9}{6} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 3.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{60}{6}$$

Del 60 på 6.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=10$$

Del -\frac{3}{2}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{3}{4}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{3}{4} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=10+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{3}{4} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=10+\frac{9}{16}$$

Legg sammen 10 og \frac{9}{16}.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{169}{16}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{13}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{13}{4}$$

Legg til \frac{3}{4} på begge sider av ligningen.

$$x=4 x=-\frac{5}{2}$$