Løs 6x^2-7x-3=0

$$6 x ^ { 2 } - 7 x - 3 = 0$$

Løs for x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen faktoriserer du venstre side ved å gruppere. Først må venstre side omskrives som 6x^{2}+ax+bx-3. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-7 ab=6\left(-3\right)=-18$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er negativ, har negative tallet større absolutt verdi enn positiv. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -18.

$$1,-18 2,-9 3,-6$$

Beregn summen for hvert par.

$$1-18=-17 2-9=-7 3-6=-3$$

Løsningen er paret som gir Summer -7.

$$a=-9 b=2$$

Skriv om 6x^{2}-7x-3 som \left(6x^{2}-9x\right)+\left(2x-3\right).

$$\left(6x^{2}-9x\right)+\left(2x-3\right)$$

Faktorer ut 3x i 6x^{2}-9x.

$$3x\left(2x-3\right)+2x-3$$

Faktorer ut det felles leddet 2x-3 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(2x-3\right)\left(3x+1\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse 2x-3=0 og 3x+1=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{3}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$6x^{2}-7x-3=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 6 for a, -7 for b og -3 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 6\left(-3\right)}}{2\times 6}$$

Kvadrer -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 6\left(-3\right)}}{2\times 6}$$

Multipliser -4 ganger 6.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-24\left(-3\right)}}{2\times 6}$$

Multipliser -24 ganger -3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+72}}{2\times 6}$$

Legg sammen 49 og 72.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{121}}{2\times 6}$$

Ta kvadratroten av 121.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±11}{2\times 6}$$

Det motsatte av -7 er 7.

$$x=\frac{7±11}{2\times 6}$$

Multipliser 2 ganger 6.

$$x=\frac{7±11}{12}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{7±11}{12} når ± er pluss. Legg sammen 7 og 11.

$$x=\frac{18}{12}$$

Forkort brøken \frac{18}{12} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 6.

$$x=\frac{3}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{7±11}{12} når ± er minus. Trekk fra 11 fra 7.

$$x=-\frac{4}{12}$$

Forkort brøken \frac{-4}{12} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 4.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{3}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-7x-3=0$$

Legg til 3 på begge sider av ligningen.

$$6x^{2}-7x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Når du trekker fra -3 fra seg selv har du 0 igjen.

$$6x^{2}-7x=-\left(-3\right)$$

Trekk fra -3 fra 0.

$$6x^{2}-7x=3$$

Del begge sidene på 6.

$$\frac{6x^{2}-7x}{6}=\frac{3}{6}$$

Hvis du deler på 6, gjør du om gangingen med 6.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x=\frac{3}{6}$$

Forkort brøken \frac{3}{6} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 3.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x=\frac{1}{2}$$

Divider -\frac{7}{6}, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få -\frac{7}{12}. Legg deretter til kvadratet av -\frac{7}{12} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x+\left(-\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{7}{12}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{7}{12} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{1}{2}+\frac{49}{144}$$

Legg sammen \frac{1}{2} og \frac{49}{144} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{121}{144}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{121}{144}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{144}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{7}{12}=\frac{11}{12} x-\frac{7}{12}=-\frac{11}{12}$$

Legg til \frac{7}{12} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{3}$$