Løs 6x^2-15x+12=0

$$6 x ^ { 2 } - 15 x + 12 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{5+\sqrt{7}i}{4}\approx 1,25+0,661437828i$$

$$x=\frac{-\sqrt{7}i+5}{4}\approx 1,25-0,661437828i$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$6x^{2}-15x+12=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 6 for a, -15 for b og 12 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 6\times 12}}{2\times 6}$$

Kvadrer -15.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 6\times 12}}{2\times 6}$$

Multipliser -4 ganger 6.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-24\times 12}}{2\times 6}$$

Multipliser -24 ganger 12.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-288}}{2\times 6}$$

Legg sammen 225 og -288.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{-63}}{2\times 6}$$

Ta kvadratroten av -63.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±3\sqrt{7}i}{2\times 6}$$

Det motsatte av -15 er 15.

$$x=\frac{15±3\sqrt{7}i}{2\times 6}$$

Multipliser 2 ganger 6.

$$x=\frac{15±3\sqrt{7}i}{12}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{15±3\sqrt{7}i}{12} når ± er pluss. Legg sammen 15 og 3i\sqrt{7}.

$$x=\frac{15+3\sqrt{7}i}{12}$$

Del 15+3i\sqrt{7} på 12.

$$x=\frac{5+\sqrt{7}i}{4}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{15±3\sqrt{7}i}{12} når ± er minus. Trekk fra 3i\sqrt{7} fra 15.

$$x=\frac{-3\sqrt{7}i+15}{12}$$

Del 15-3i\sqrt{7} på 12.

$$x=\frac{-\sqrt{7}i+5}{4}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{5+\sqrt{7}i}{4} x=\frac{-\sqrt{7}i+5}{4}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-15x+12=0$$

Trekk fra 12 fra begge sider av ligningen.

$$6x^{2}-15x+12-12=-12$$

Når du trekker fra 12 fra seg selv har du 0 igjen.

$$6x^{2}-15x=-12$$

Del begge sidene på 6.

$$\frac{6x^{2}-15x}{6}=-\frac{12}{6}$$

Hvis du deler på 6, gjør du om gangingen med 6.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{6}\right)x=-\frac{12}{6}$$

Forkort brøken \frac{-15}{6} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 3.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=-\frac{12}{6}$$

Del -12 på 6.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=-2$$

Del -\frac{5}{2}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{5}{4}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{5}{4} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=-2+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{5}{4} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=-2+\frac{25}{16}$$

Legg sammen -2 og \frac{25}{16}.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=-\frac{7}{16}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{16}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7}{16}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{5}{4}=\frac{\sqrt{7}i}{4} x-\frac{5}{4}=-\frac{\sqrt{7}i}{4}$$

Legg til \frac{5}{4} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{5+\sqrt{7}i}{4} x=\frac{-\sqrt{7}i+5}{4}$$