Løs 6x^2-14x-9=0

$$6 x ^ { 2 } - 14 x - 9 = 0$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{103} + 7}{6} \approx 2,858148594$$

$$x=\frac{7-\sqrt{103}}{6}\approx -0,524815261$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$6x^{2}-14x-9=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 6 for a, -14 for b og -9 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 6\left(-9\right)}}{2\times 6}$$

Kvadrer -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 6\left(-9\right)}}{2\times 6}$$

Multipliser -4 ganger 6.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-24\left(-9\right)}}{2\times 6}$$

Multipliser -24 ganger -9.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+216}}{2\times 6}$$

Legg sammen 196 og 216.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{412}}{2\times 6}$$

Ta kvadratroten av 412.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{103}}{2\times 6}$$

Det motsatte av -14 er 14.

$$x=\frac{14±2\sqrt{103}}{2\times 6}$$

Multipliser 2 ganger 6.

$$x=\frac{14±2\sqrt{103}}{12}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{14±2\sqrt{103}}{12} når ± er pluss. Legg sammen 14 og 2\sqrt{103}.

$$x=\frac{2\sqrt{103}+14}{12}$$

Del 14+2\sqrt{103} på 12.

$$x=\frac{\sqrt{103}+7}{6}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{14±2\sqrt{103}}{12} når ± er minus. Trekk fra 2\sqrt{103} fra 14.

$$x=\frac{14-2\sqrt{103}}{12}$$

Del 14-2\sqrt{103} på 12.

$$x=\frac{7-\sqrt{103}}{6}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{\sqrt{103}+7}{6} x=\frac{7-\sqrt{103}}{6}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-14x-9=0$$

Legg til 9 på begge sider av ligningen.

$$6x^{2}-14x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Når du trekker fra -9 fra seg selv har du 0 igjen.

$$6x^{2}-14x=-\left(-9\right)$$

Trekk fra -9 fra 0.

$$6x^{2}-14x=9$$

Del begge sidene på 6.

$$\frac{6x^{2}-14x}{6}=\frac{9}{6}$$

Hvis du deler på 6, gjør du om gangingen med 6.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{6}\right)x=\frac{9}{6}$$

Forkort brøken \frac{-14}{6} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=\frac{9}{6}$$

Forkort brøken \frac{9}{6} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 3.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=\frac{3}{2}$$

Divider -\frac{7}{3}, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få -\frac{7}{6}. Legg deretter til kvadratet av -\frac{7}{6} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{3}{2}+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{7}{6} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{3}{2}+\frac{49}{36}$$

Legg sammen \frac{3}{2} og \frac{49}{36} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{103}{36}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{103}{36}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{103}{36}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{7}{6}=\frac{\sqrt{103}}{6} x-\frac{7}{6}=-\frac{\sqrt{103}}{6}$$

Legg til \frac{7}{6} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{103}+7}{6} x=\frac{7-\sqrt{103}}{6}$$