Løs 6x^2-13x-5geq0

$$6 x ^ { 2 } - 13 x - 5 \geq 0$$

Løs for x

$$x\in (-\infty,-\frac{1}{3}]\cup [\frac{5}{2},\infty)$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Faktoriser venstre side for å løse ulikheten. Kvadratisk ligning for polynom kan faktoriseres ved hjelp av transformasjonen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), der x_{1} og x_{2} er løsningene for den kvadratiske ligningen ax^{2}+bx+c=0.

$$6x^{2}-13x-5=0$$

Alle ligningene av typen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske ligningen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstatt 6 med a, -13 med b, og -5 med c i den kvadratiske ligningen.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Utfør beregningene.

$$x=\frac{13±17}{12}$$

Løs ligningen x=\frac{13±17}{12} når ± er pluss og ± er minus.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{1}{3}$$

Skriv om ulikheten ved hjelp av de oppnådde løsningene.

$$6\left(x-\frac{5}{2}\right)\left(x+\frac{1}{3}\right)\geq 0$$

For at produktet skal være ≥0, x-\frac{5}{2} og x+\frac{1}{3} må være både ≤0 eller begge ≥0. Vurder saken når x-\frac{5}{2} og x+\frac{1}{3} er begge ≤0.

$$x-\frac{5}{2}\leq 0 x+\frac{1}{3}\leq 0$$

Løsningen som oppfyller begge ulikhetene, er x\leq -\frac{1}{3}.

$$x\leq -\frac{1}{3}$$

Vurder saken når x-\frac{5}{2} og x+\frac{1}{3} er begge ≥0.

$$x+\frac{1}{3}\geq 0 x-\frac{5}{2}\geq 0$$

Løsningen som oppfyller begge ulikhetene, er x\geq \frac{5}{2}.

$$x\geq \frac{5}{2}$$

Den siste løsningen er unionen av de oppnådde løsningene.

$$x\leq -\frac{1}{3}\text{; }x\geq \frac{5}{2}$$