Løs 6x^2-12x+3geq0

$$6 x ^ { 2 } - 12 x + 3 \geq 0$$

Løs for x

$$x\in (-\infty,-\frac{\sqrt{2}}{2}+1]\cup [\frac{\sqrt{2}}{2}+1,\infty)$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Faktoriser venstre side for å løse ulikheten. Kvadratisk ligning for polynom kan faktoriseres ved hjelp av transformasjonen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), der x_{1} og x_{2} er løsningene for den kvadratiske ligningen ax^{2}+bx+c=0.

$$6x^{2}-12x+3=0$$

Alle ligningene av typen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske ligningen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstatt 6 med a, -12 med b, og 3 med c i den kvadratiske ligningen.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 6\times 3}}{2\times 6}$$

Utfør beregningene.

$$x=\frac{12±6\sqrt{2}}{12}$$

Løs ligningen x=\frac{12±6\sqrt{2}}{12} når ± er pluss og ± er minus.

$$x=\frac{\sqrt{2}}{2}+1 x=-\frac{\sqrt{2}}{2}+1$$

Skriv om ulikheten ved hjelp av de oppnådde løsningene.

$$6\left(x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\right)\left(x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\right)\geq 0$$

For at produktet skal være ≥0, x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) og x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) må være både ≤0 eller begge ≥0. Vurder saken når x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) og x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) er begge ≤0.

$$x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\leq 0 x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\leq 0$$

Løsningen som oppfyller begge ulikhetene, er x\leq -\frac{\sqrt{2}}{2}+1.

$$x\leq -\frac{\sqrt{2}}{2}+1$$

Vurder saken når x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) og x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) er begge ≥0.

$$x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\geq 0 x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\geq 0$$

Løsningen som oppfyller begge ulikhetene, er x\geq \frac{\sqrt{2}}{2}+1.

$$x\geq \frac{\sqrt{2}}{2}+1$$

Den siste løsningen er unionen av de oppnådde løsningene.

$$x\leq -\frac{\sqrt{2}}{2}+1\text{; }x\geq \frac{\sqrt{2}}{2}+1$$