Løs 6-x^2+4x-3geq0

$$6 - x ^ { 2 } + 4 x - 3 \geq 0$$

Løs for x

$$x\in \begin{bmatrix}2-\sqrt{7},\sqrt{7}+2\end{bmatrix}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Trekk fra 3 fra 6 for å få 3.

$$3-x^{2}+4x\geq 0$$

Multipliserer ulikheten med –1 for å gjøre koeffisienten til den høyeste potensen i 3-x^{2}+4x positiv. Siden -1 er negativ, endres ulikhetsretningen.

$$-3+x^{2}-4x\leq 0$$

Faktoriser venstre side for å løse ulikheten. Kvadratisk ligning for polynom kan faktoriseres ved hjelp av transformasjonen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), der x_{1} og x_{2} er løsningene for den kvadratiske ligningen ax^{2}+bx+c=0.

$$-3+x^{2}-4x=0$$

Alle ligningene av typen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske ligningen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstatt 1 med a, -4 med b, og -3 med c i den kvadratiske ligningen.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 1\left(-3\right)}}{2}$$

Utfør beregningene.

$$x=\frac{4±2\sqrt{7}}{2}$$

Løs ligningen x=\frac{4±2\sqrt{7}}{2} når ± er pluss og ± er minus.

$$x=\sqrt{7}+2 x=2-\sqrt{7}$$

Skriv om ulikheten ved hjelp av de oppnådde løsningene.

$$\left(x-\left(\sqrt{7}+2\right)\right)\left(x-\left(2-\sqrt{7}\right)\right)\leq 0$$

En av verdiene x-\left(\sqrt{7}+2\right) og x-\left(2-\sqrt{7}\right) må være ≥0 og den andre må være ≤0 for at produktet skal bli ≤0. Vurder saken når x-\left(\sqrt{7}+2\right)\geq 0 og x-\left(2-\sqrt{7}\right)\leq 0.

$$x-\left(\sqrt{7}+2\right)\geq 0 x-\left(2-\sqrt{7}\right)\leq 0$$

Dette er usant for alle x.

$$x\in \emptyset$$

Vurder saken når x-\left(\sqrt{7}+2\right)\leq 0 og x-\left(2-\sqrt{7}\right)\geq 0.

$$x-\left(2-\sqrt{7}\right)\geq 0 x-\left(\sqrt{7}+2\right)\leq 0$$

Løsningen som oppfyller begge ulikhetene, er x\in \left[2-\sqrt{7},\sqrt{7}+2\right].

$$x\in \begin{bmatrix}2-\sqrt{7},\sqrt{7}+2\end{bmatrix}$$

Den siste løsningen er unionen av de oppnådde løsningene.

$$x\in \begin{bmatrix}2-\sqrt{7},\sqrt{7}+2\end{bmatrix}$$