Løs 6x^2-5x-1=0

$$6 { x }^{ 2 } -5x-1=0$$

Løs for x

$$x=-\frac{1}{6}\approx -0,166666667$$

$$x=1$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 6x^{2}+ax+bx-1. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-5 ab=6\left(-1\right)=-6$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er negativ, har negative tallet større absolutt verdi enn positiv. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -6.

$$1,-6 2,-3$$

Beregn summen for hvert par.

$$1-6=-5 2-3=-1$$

Løsningen er paret som gir Summer -5.

$$a=-6 b=1$$

Skriv om 6x^{2}-5x-1 som \left(6x^{2}-6x\right)+\left(x-1\right).

$$\left(6x^{2}-6x\right)+\left(x-1\right)$$

Faktorer ut 6x i 6x^{2}-6x.

$$6x\left(x-1\right)+x-1$$

Faktorer ut det felles leddet x-1 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-1\right)\left(6x+1\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-1=0 og 6x+1=0.

$$x=1 x=-\frac{1}{6}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$6x^{2}-5x-1=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 6 for a, -5 for b og -1 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 6\left(-1\right)}}{2\times 6}$$

Kvadrer -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 6\left(-1\right)}}{2\times 6}$$

Multipliser -4 ganger 6.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-24\left(-1\right)}}{2\times 6}$$

Multipliser -24 ganger -1.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+24}}{2\times 6}$$

Legg sammen 25 og 24.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

Ta kvadratroten av 49.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±7}{2\times 6}$$

Det motsatte av -5 er 5.

$$x=\frac{5±7}{2\times 6}$$

Multipliser 2 ganger 6.

$$x=\frac{5±7}{12}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{5±7}{12} når ± er pluss. Legg sammen 5 og 7.

$$x=\frac{12}{12}$$

Del 12 på 12.

$$x=1$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{5±7}{12} når ± er minus. Trekk fra 7 fra 5.

$$x=-\frac{2}{12}$$

Forkort brøken \frac{-2}{12} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x=-\frac{1}{6}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=1 x=-\frac{1}{6}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-5x-1=0$$

Legg til 1 på begge sider av ligningen.

$$6x^{2}-5x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Når du trekker fra -1 fra seg selv har du 0 igjen.

$$6x^{2}-5x=-\left(-1\right)$$

Trekk fra -1 fra 0.

$$6x^{2}-5x=1$$

Del begge sidene på 6.

$$\frac{6x^{2}-5x}{6}=\frac{1}{6}$$

Hvis du deler på 6, gjør du om gangingen med 6.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x=\frac{1}{6}$$

Del -\frac{5}{6}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{5}{12}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{5}{12} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\left(-\frac{5}{12}\right)^{2}=\frac{1}{6}+\left(-\frac{5}{12}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{5}{12} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=\frac{1}{6}+\frac{25}{144}$$

Legg sammen \frac{1}{6} og \frac{25}{144} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=\frac{49}{144}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{5}{12}=\frac{7}{12} x-\frac{5}{12}=-\frac{7}{12}$$

Legg til \frac{5}{12} på begge sider av ligningen.

$$x=1 x=-\frac{1}{6}$$