Løs 6x^2-19x+15=0

$$6 { x }^{ 2 } -19x+15 = 0$$

Løs for x

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,666666667$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 6x^{2}+ax+bx+15. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-19 ab=6\times 15=90$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er negativ, er både a og b negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 90.

$$-1,-90 -2,-45 -3,-30 -5,-18 -6,-15 -9,-10$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1-90=-91 -2-45=-47 -3-30=-33 -5-18=-23 -6-15=-21 -9-10=-19$$

Løsningen er paret som gir Summer -19.

$$a=-10 b=-9$$

Skriv om 6x^{2}-19x+15 som \left(6x^{2}-10x\right)+\left(-9x+15\right).

$$\left(6x^{2}-10x\right)+\left(-9x+15\right)$$

Faktor ut 2x i den første og -3 i den andre gruppen.

$$2x\left(3x-5\right)-3\left(3x-5\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 3x-5 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(3x-5\right)\left(2x-3\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse 3x-5=0 og 2x-3=0.

$$x=\frac{5}{3} x=\frac{3}{2}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$6x^{2}-19x+15=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 6 for a, -19 for b og 15 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{\left(-19\right)^{2}-4\times 6\times 15}}{2\times 6}$$

Kvadrer -19.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-4\times 6\times 15}}{2\times 6}$$

Multipliser -4 ganger 6.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-24\times 15}}{2\times 6}$$

Multipliser -24 ganger 15.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-360}}{2\times 6}$$

Legg sammen 361 og -360.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{1}}{2\times 6}$$

Ta kvadratroten av 1.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±1}{2\times 6}$$

Det motsatte av -19 er 19.

$$x=\frac{19±1}{2\times 6}$$

Multipliser 2 ganger 6.

$$x=\frac{19±1}{12}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{19±1}{12} når ± er pluss. Legg sammen 19 og 1.

$$x=\frac{20}{12}$$

Forkort brøken \frac{20}{12} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 4.

$$x=\frac{5}{3}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{19±1}{12} når ± er minus. Trekk fra 1 fra 19.

$$x=\frac{18}{12}$$

Forkort brøken \frac{18}{12} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 6.

$$x=\frac{3}{2}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{5}{3} x=\frac{3}{2}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-19x+15=0$$

Trekk fra 15 fra begge sider av ligningen.

$$6x^{2}-19x+15-15=-15$$

Når du trekker fra 15 fra seg selv har du 0 igjen.

$$6x^{2}-19x=-15$$

Del begge sidene på 6.

$$\frac{6x^{2}-19x}{6}=-\frac{15}{6}$$

Hvis du deler på 6, gjør du om gangingen med 6.

$$x^{2}-\frac{19}{6}x=-\frac{15}{6}$$

Forkort brøken \frac{-15}{6} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 3.

$$x^{2}-\frac{19}{6}x=-\frac{5}{2}$$

Del -\frac{19}{6}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{19}{12}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{19}{12} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{19}{6}x+\left(-\frac{19}{12}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(-\frac{19}{12}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{19}{12} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}=-\frac{5}{2}+\frac{361}{144}$$

Legg sammen -\frac{5}{2} og \frac{361}{144} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}=\frac{1}{144}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{19}{12}\right)^{2}=\frac{1}{144}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{144}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{19}{12}=\frac{1}{12} x-\frac{19}{12}=-\frac{1}{12}$$

Legg til \frac{19}{12} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{5}{3} x=\frac{3}{2}$$