Løs 6x^2+7x-20=0

$$6 { x }^{ 2 } +7x-20=0$$

Løs for x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 6x^{2}+ax+bx-20. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=7 ab=6\left(-20\right)=-120$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -120.

$$-1,120 -2,60 -3,40 -4,30 -5,24 -6,20 -8,15 -10,12$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1+120=119 -2+60=58 -3+40=37 -4+30=26 -5+24=19 -6+20=14 -8+15=7 -10+12=2$$

Løsningen er paret som gir Summer 7.

$$a=-8 b=15$$

Skriv om 6x^{2}+7x-20 som \left(6x^{2}-8x\right)+\left(15x-20\right).

$$\left(6x^{2}-8x\right)+\left(15x-20\right)$$

Faktor ut 2x i den første og 5 i den andre gruppen.

$$2x\left(3x-4\right)+5\left(3x-4\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 3x-4 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(3x-4\right)\left(2x+5\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse 3x-4=0 og 2x+5=0.

$$x=\frac{4}{3} x=-\frac{5}{2}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$6x^{2}+7x-20=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 6 for a, 7 for b og -20 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 6\left(-20\right)}}{2\times 6}$$

Kvadrer 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 6\left(-20\right)}}{2\times 6}$$

Multipliser -4 ganger 6.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-24\left(-20\right)}}{2\times 6}$$

Multipliser -24 ganger -20.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+480}}{2\times 6}$$

Legg sammen 49 og 480.

$$x=\frac{-7±\sqrt{529}}{2\times 6}$$

Ta kvadratroten av 529.

$$x=\frac{-7±23}{2\times 6}$$

Multipliser 2 ganger 6.

$$x=\frac{-7±23}{12}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-7±23}{12} når ± er pluss. Legg sammen -7 og 23.

$$x=\frac{16}{12}$$

Forkort brøken \frac{16}{12} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 4.

$$x=\frac{4}{3}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-7±23}{12} når ± er minus. Trekk fra 23 fra -7.

$$x=-\frac{30}{12}$$

Forkort brøken \frac{-30}{12} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 6.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{4}{3} x=-\frac{5}{2}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+7x-20=0$$

Legg til 20 på begge sider av ligningen.

$$6x^{2}+7x-20-\left(-20\right)=-\left(-20\right)$$

Når du trekker fra -20 fra seg selv har du 0 igjen.

$$6x^{2}+7x=-\left(-20\right)$$

Trekk fra -20 fra 0.

$$6x^{2}+7x=20$$

Del begge sidene på 6.

$$\frac{6x^{2}+7x}{6}=\frac{20}{6}$$

Hvis du deler på 6, gjør du om gangingen med 6.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x=\frac{20}{6}$$

Forkort brøken \frac{20}{6} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x=\frac{10}{3}$$

Del \frac{7}{6}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{7}{12}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{7}{12} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{10}{3}+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{7}{12} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{10}{3}+\frac{49}{144}$$

Legg sammen \frac{10}{3} og \frac{49}{144} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{529}{144}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{529}{144}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{144}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{7}{12}=\frac{23}{12} x+\frac{7}{12}=-\frac{23}{12}$$

Trekk fra \frac{7}{12} fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{4}{3} x=-\frac{5}{2}$$