Løs 6x^2+19x-7=0

$$6 { x }^{ 2 } +19x-7=0$$

Løs for x

$$x = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3,5$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 6x^{2}+ax+bx-7. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=19 ab=6\left(-7\right)=-42$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -42.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

Løsningen er paret som gir Summer 19.

$$a=-2 b=21$$

Skriv om 6x^{2}+19x-7 som \left(6x^{2}-2x\right)+\left(21x-7\right).

$$\left(6x^{2}-2x\right)+\left(21x-7\right)$$

Faktor ut 2x i den første og 7 i den andre gruppen.

$$2x\left(3x-1\right)+7\left(3x-1\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 3x-1 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(3x-1\right)\left(2x+7\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse 3x-1=0 og 2x+7=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$6x^{2}+19x-7=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 6 for a, 19 for b og -7 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-19±\sqrt{19^{2}-4\times 6\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

Kvadrer 19.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-4\times 6\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

Multipliser -4 ganger 6.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-24\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

Multipliser -24 ganger -7.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361+168}}{2\times 6}$$

Legg sammen 361 og 168.

$$x=\frac{-19±\sqrt{529}}{2\times 6}$$

Ta kvadratroten av 529.

$$x=\frac{-19±23}{2\times 6}$$

Multipliser 2 ganger 6.

$$x=\frac{-19±23}{12}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-19±23}{12} når ± er pluss. Legg sammen -19 og 23.

$$x=\frac{4}{12}$$

Forkort brøken \frac{4}{12} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 4.

$$x=\frac{1}{3}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-19±23}{12} når ± er minus. Trekk fra 23 fra -19.

$$x=-\frac{42}{12}$$

Forkort brøken \frac{-42}{12} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 6.

$$x=-\frac{7}{2}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+19x-7=0$$

Legg til 7 på begge sider av ligningen.

$$6x^{2}+19x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Når du trekker fra -7 fra seg selv har du 0 igjen.

$$6x^{2}+19x=-\left(-7\right)$$

Trekk fra -7 fra 0.

$$6x^{2}+19x=7$$

Del begge sidene på 6.

$$\frac{6x^{2}+19x}{6}=\frac{7}{6}$$

Hvis du deler på 6, gjør du om gangingen med 6.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x=\frac{7}{6}$$

Del \frac{19}{6}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{19}{12}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{19}{12} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\left(\frac{19}{12}\right)^{2}=\frac{7}{6}+\left(\frac{19}{12}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{19}{12} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}=\frac{7}{6}+\frac{361}{144}$$

Legg sammen \frac{7}{6} og \frac{361}{144} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}=\frac{529}{144}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{19}{12}\right)^{2}=\frac{529}{144}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{19}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{144}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{19}{12}=\frac{23}{12} x+\frac{19}{12}=-\frac{23}{12}$$

Trekk fra \frac{19}{12} fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$