Løs 6x^2+11x+3=0

$$6 { x }^{ 2 } +11x+3=0$$

Løs for x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 6x^{2}+ax+bx+3. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=11 ab=6\times 3=18$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er positiv, er a og b positive. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 18.

$$1,18 2,9 3,6$$

Beregn summen for hvert par.

$$1+18=19 2+9=11 3+6=9$$

Løsningen er paret som gir Summer 11.

$$a=2 b=9$$

Skriv om 6x^{2}+11x+3 som \left(6x^{2}+2x\right)+\left(9x+3\right).

$$\left(6x^{2}+2x\right)+\left(9x+3\right)$$

Faktor ut 2x i den første og 3 i den andre gruppen.

$$2x\left(3x+1\right)+3\left(3x+1\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 3x+1 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(3x+1\right)\left(2x+3\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse 3x+1=0 og 2x+3=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$6x^{2}+11x+3=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 6 for a, 11 for b og 3 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 6\times 3}}{2\times 6}$$

Kvadrer 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 6\times 3}}{2\times 6}$$

Multipliser -4 ganger 6.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-24\times 3}}{2\times 6}$$

Multipliser -24 ganger 3.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-72}}{2\times 6}$$

Legg sammen 121 og -72.

$$x=\frac{-11±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

Ta kvadratroten av 49.

$$x=\frac{-11±7}{2\times 6}$$

Multipliser 2 ganger 6.

$$x=\frac{-11±7}{12}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-11±7}{12} når ± er pluss. Legg sammen -11 og 7.

$$x=-\frac{4}{12}$$

Forkort brøken \frac{-4}{12} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 4.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-11±7}{12} når ± er minus. Trekk fra 7 fra -11.

$$x=-\frac{18}{12}$$

Forkort brøken \frac{-18}{12} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 6.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+11x+3=0$$

Trekk fra 3 fra begge sider av ligningen.

$$6x^{2}+11x+3-3=-3$$

Når du trekker fra 3 fra seg selv har du 0 igjen.

$$6x^{2}+11x=-3$$

Del begge sidene på 6.

$$\frac{6x^{2}+11x}{6}=-\frac{3}{6}$$

Hvis du deler på 6, gjør du om gangingen med 6.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=-\frac{3}{6}$$

Forkort brøken \frac{-3}{6} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 3.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=-\frac{1}{2}$$

Del \frac{11}{6}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{11}{12}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{11}{12} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{11}{12} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=-\frac{1}{2}+\frac{121}{144}$$

Legg sammen -\frac{1}{2} og \frac{121}{144} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=\frac{49}{144}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{11}{12}=\frac{7}{12} x+\frac{11}{12}=-\frac{7}{12}$$

Trekk fra \frac{11}{12} fra begge sider av ligningen.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$