Løs 56x^2-30x+1=0

$$56 { x }^{ 2 } -30x+1=0$$

Løs for x

$$x=\frac{1}{28}\approx 0,035714286$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 56x^{2}+ax+bx+1. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-30 ab=56\times 1=56$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er negativ, er både a og b negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 56.

$$-1,-56 -2,-28 -4,-14 -7,-8$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1-56=-57 -2-28=-30 -4-14=-18 -7-8=-15$$

Løsningen er paret som gir Summer -30.

$$a=-28 b=-2$$

Skriv om 56x^{2}-30x+1 som \left(56x^{2}-28x\right)+\left(-2x+1\right).

$$\left(56x^{2}-28x\right)+\left(-2x+1\right)$$

Faktor ut 28x i den første og -1 i den andre gruppen.

$$28x\left(2x-1\right)-\left(2x-1\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 2x-1 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(2x-1\right)\left(28x-1\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse 2x-1=0 og 28x-1=0.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{28}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$56x^{2}-30x+1=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 56 for a, -30 for b og 1 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 56}}{2\times 56}$$

Kvadrer -30.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 56}}{2\times 56}$$

Multipliser -4 ganger 56.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-224}}{2\times 56}$$

Legg sammen 900 og -224.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{676}}{2\times 56}$$

Ta kvadratroten av 676.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±26}{2\times 56}$$

Det motsatte av -30 er 30.

$$x=\frac{30±26}{2\times 56}$$

Multipliser 2 ganger 56.

$$x=\frac{30±26}{112}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{30±26}{112} når ± er pluss. Legg sammen 30 og 26.

$$x=\frac{56}{112}$$

Forkort brøken \frac{56}{112} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 56.

$$x=\frac{1}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{30±26}{112} når ± er minus. Trekk fra 26 fra 30.

$$x=\frac{4}{112}$$

Forkort brøken \frac{4}{112} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 4.

$$x=\frac{1}{28}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{28}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$56x^{2}-30x+1=0$$

Trekk fra 1 fra begge sider av ligningen.

$$56x^{2}-30x+1-1=-1$$

Når du trekker fra 1 fra seg selv har du 0 igjen.

$$56x^{2}-30x=-1$$

Del begge sidene på 56.

$$\frac{56x^{2}-30x}{56}=-\frac{1}{56}$$

Hvis du deler på 56, gjør du om gangingen med 56.

$$x^{2}+\left(-\frac{30}{56}\right)x=-\frac{1}{56}$$

Forkort brøken \frac{-30}{56} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x^{2}-\frac{15}{28}x=-\frac{1}{56}$$

Del -\frac{15}{28}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{15}{56}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{15}{56} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{15}{28}x+\left(-\frac{15}{56}\right)^{2}=-\frac{1}{56}+\left(-\frac{15}{56}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{15}{56} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{15}{28}x+\frac{225}{3136}=-\frac{1}{56}+\frac{225}{3136}$$

Legg sammen -\frac{1}{56} og \frac{225}{3136} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{15}{28}x+\frac{225}{3136}=\frac{169}{3136}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{15}{28}x+\frac{225}{3136}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{56}\right)^{2}=\frac{169}{3136}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{56}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{3136}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{15}{56}=\frac{13}{56} x-\frac{15}{56}=-\frac{13}{56}$$

Legg til \frac{15}{56} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{28}$$