Løs 54(1+x)(1+x)=1215

$$54(1+x)(1+x)=1215$$

Løs for x

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1\approx 3,74341649$$

$$x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1\approx -5,74341649$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Multipliser 1+x med 1+x for å få \left(1+x\right)^{2}.

$$54\left(1+x\right)^{2}=1215$$

Bruk binomialformelen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til å utvide \left(1+x\right)^{2}.

$$54\left(1+2x+x^{2}\right)=1215$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 54 med 1+2x+x^{2}.

$$54+108x+54x^{2}=1215$$

Trekk fra 1215 fra begge sider.

$$54+108x+54x^{2}-1215=0$$

Trekk fra 1215 fra 54 for å få -1161.

$$-1161+108x+54x^{2}=0$$

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$54x^{2}+108x-1161=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 54 for a, 108 for b og -1161 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-108±\sqrt{108^{2}-4\times 54\left(-1161\right)}}{2\times 54}$$

Kvadrer 108.

$$x=\frac{-108±\sqrt{11664-4\times 54\left(-1161\right)}}{2\times 54}$$

Multipliser -4 ganger 54.

$$x=\frac{-108±\sqrt{11664-216\left(-1161\right)}}{2\times 54}$$

Multipliser -216 ganger -1161.

$$x=\frac{-108±\sqrt{11664+250776}}{2\times 54}$$

Legg sammen 11664 og 250776.

$$x=\frac{-108±\sqrt{262440}}{2\times 54}$$

Ta kvadratroten av 262440.

$$x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{2\times 54}$$

Multipliser 2 ganger 54.

$$x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{108}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{108} når ± er pluss. Legg sammen -108 og 162\sqrt{10}.

$$x=\frac{162\sqrt{10}-108}{108}$$

Del -108+162\sqrt{10} på 108.

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{108} når ± er minus. Trekk fra 162\sqrt{10} fra -108.

$$x=\frac{-162\sqrt{10}-108}{108}$$

Del -108-162\sqrt{10} på 108.

$$x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1 x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Multipliser 1+x med 1+x for å få \left(1+x\right)^{2}.

$$54\left(1+x\right)^{2}=1215$$

Bruk binomialformelen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til å utvide \left(1+x\right)^{2}.

$$54\left(1+2x+x^{2}\right)=1215$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 54 med 1+2x+x^{2}.

$$54+108x+54x^{2}=1215$$

Trekk fra 54 fra begge sider.

$$108x+54x^{2}=1215-54$$

Trekk fra 54 fra 1215 for å få 1161.

$$108x+54x^{2}=1161$$

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$54x^{2}+108x=1161$$

Del begge sidene på 54.

$$\frac{54x^{2}+108x}{54}=\frac{1161}{54}$$

Hvis du deler på 54, gjør du om gangingen med 54.

$$x^{2}+\frac{108}{54}x=\frac{1161}{54}$$

Del 108 på 54.

$$x^{2}+2x=\frac{1161}{54}$$

Forkort brøken \frac{1161}{54} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 27.

$$x^{2}+2x=\frac{43}{2}$$

Del 2, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få 1. Deretter legger du til kvadrat firkanten av 1 på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+2x+1^{2}=\frac{43}{2}+1^{2}$$

Kvadrer 1.

$$x^{2}+2x+1=\frac{43}{2}+1$$

Legg sammen \frac{43}{2} og 1.

$$x^{2}+2x+1=\frac{45}{2}$$

Faktoriser x^{2}+2x+1. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=\frac{45}{2}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{45}{2}}$$

Forenkle.

$$x+1=\frac{3\sqrt{10}}{2} x+1=-\frac{3\sqrt{10}}{2}$$

Trekk fra 1 fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1 x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$