Løs 53x^2+5x-12<0

$$53 x ^ { 2 } + 5 x - 12 < 0$$

Løs for x

$$x\in \left(\frac{-\sqrt{2569}-5}{106},\frac{\sqrt{2569}-5}{106}\right)$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Faktoriser venstre side for å løse ulikheten. Kvadratisk ligning for polynom kan faktoriseres ved hjelp av transformasjonen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), der x_{1} og x_{2} er løsningene for den kvadratiske ligningen ax^{2}+bx+c=0.

$$53x^{2}+5x-12=0$$

Alle ligningene av typen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske ligningen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstatt 53 med a, 5 med b, og -12 med c i den kvadratiske ligningen.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 53\left(-12\right)}}{2\times 53}$$

Utfør beregningene.

$$x=\frac{-5±\sqrt{2569}}{106}$$

Løs ligningen x=\frac{-5±\sqrt{2569}}{106} når ± er pluss og ± er minus.

$$x=\frac{\sqrt{2569}-5}{106} x=\frac{-\sqrt{2569}-5}{106}$$

Skriv om ulikheten ved hjelp av de oppnådde løsningene.

$$53\left(x-\frac{\sqrt{2569}-5}{106}\right)\left(x-\frac{-\sqrt{2569}-5}{106}\right)<0$$

For at produktet skal være negativt, x-\frac{\sqrt{2569}-5}{106} og x-\frac{-\sqrt{2569}-5}{106} må være av motsatt tegn. Vurder saken når x-\frac{\sqrt{2569}-5}{106} er positiv og x-\frac{-\sqrt{2569}-5}{106} er negativ.

$$x-\frac{\sqrt{2569}-5}{106}>0 x-\frac{-\sqrt{2569}-5}{106}<0$$

Dette er usant for alle x.

$$x\in \emptyset$$

Vurder saken når x-\frac{-\sqrt{2569}-5}{106} er positiv og x-\frac{\sqrt{2569}-5}{106} er negativ.

$$x-\frac{-\sqrt{2569}-5}{106}>0 x-\frac{\sqrt{2569}-5}{106}<0$$

Løsningen som oppfyller begge ulikhetene, er x\in \left(\frac{-\sqrt{2569}-5}{106},\frac{\sqrt{2569}-5}{106}\right).

$$x\in \left(\frac{-\sqrt{2569}-5}{106},\frac{\sqrt{2569}-5}{106}\right)$$

Den siste løsningen er unionen av de oppnådde løsningene.

$$x\in \left(\frac{-\sqrt{2569}-5}{106},\frac{\sqrt{2569}-5}{106}\right)$$