Løs 52z^2-43z+3

$$52 z ^ { 2 } - 43 z + 3$$

Faktoriser

$$\left(4z-3\right)\left(13z-1\right)$$

Løsningstrinn

Faktor iser uttrykket ved å gruppere. Først må uttrykket omskrives som 52z^{2}+az+bz+3. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-43 ab=52\times 3=156$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er negativ, er både a og b negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 156.

$$-1,-156 -2,-78 -3,-52 -4,-39 -6,-26 -12,-13$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1-156=-157 -2-78=-80 -3-52=-55 -4-39=-43 -6-26=-32 -12-13=-25$$

Løsningen er paret som gir Summer -43.

$$a=-39 b=-4$$

Skriv om 52z^{2}-43z+3 som \left(52z^{2}-39z\right)+\left(-4z+3\right).

$$\left(52z^{2}-39z\right)+\left(-4z+3\right)$$

Faktor ut 13z i den første og -1 i den andre gruppen.

$$13z\left(4z-3\right)-\left(4z-3\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 4z-3 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(4z-3\right)\left(13z-1\right)$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Kvadratisk ligning for polynom kan faktoriseres ved hjelp av transformasjonen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), der x_{1} og x_{2} er løsningene for den kvadratiske ligningen ax^{2}+bx+c=0.

$$52z^{2}-43z+3=0$$

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$z=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{\left(-43\right)^{2}-4\times 52\times 3}}{2\times 52}$$

Kvadrer -43.

$$z=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1849-4\times 52\times 3}}{2\times 52}$$

Multipliser -4 ganger 52.

$$z=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1849-208\times 3}}{2\times 52}$$

Multipliser -208 ganger 3.

$$z=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1849-624}}{2\times 52}$$

Legg sammen 1849 og -624.

$$z=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1225}}{2\times 52}$$

Ta kvadratroten av 1225.

$$z=\frac{-\left(-43\right)±35}{2\times 52}$$

Det motsatte av -43 er 43.

$$z=\frac{43±35}{2\times 52}$$

Multipliser 2 ganger 52.

$$z=\frac{43±35}{104}$$

Nå kan du løse formelen z=\frac{43±35}{104} når ± er pluss. Legg sammen 43 og 35.

$$z=\frac{78}{104}$$

Forkort brøken \frac{78}{104} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 26.

$$z=\frac{3}{4}$$

Nå kan du løse formelen z=\frac{43±35}{104} når ± er minus. Trekk fra 35 fra 43.

$$z=\frac{8}{104}$$

Forkort brøken \frac{8}{104} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 8.

$$z=\frac{1}{13}$$

Faktoriser det opprinnelige uttrykket ved hjelp av ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Erstatt \frac{3}{4} med x_{1} og \frac{1}{13} med x_{2}.

$$52z^{2}-43z+3=52\left(z-\frac{3}{4}\right)\left(z-\frac{1}{13}\right)$$

Trekk fra \frac{3}{4} fra z ved å finne en fellesnevner og trekke fra tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$52z^{2}-43z+3=52\times \frac{4z-3}{4}\left(z-\frac{1}{13}\right)$$

Trekk fra \frac{1}{13} fra z ved å finne en fellesnevner og trekke fra tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$52z^{2}-43z+3=52\times \frac{4z-3}{4}\times \frac{13z-1}{13}$$

Multipliser \frac{4z-3}{4} med \frac{13z-1}{13} ved å multiplisere teller ganger teller og nevner ganger nevner. Forkort deretter brøken om mulig.

$$52z^{2}-43z+3=52\times \frac{\left(4z-3\right)\left(13z-1\right)}{4\times 13}$$

Multipliser 4 ganger 13.

$$52z^{2}-43z+3=52\times \frac{\left(4z-3\right)\left(13z-1\right)}{52}$$

Opphev den største felles faktoren 52 i 52 og 52.

$$52z^{2}-43z+3=\left(4z-3\right)\left(13z-1\right)$$

Evaluer

$$\left(4z-3\right)\left(13z-1\right)$$