Løs 5x-2y=1;3x+5y=13

$$5 x - 2 y = 1 ; 3 x + 5 y = 13$$

Løs for x, y

$$x=1$$

$$y=2$$

Fremgangsmåten ved bruk av innsetting

Hvis du vil løse et ligningspar ved hjelp av innsetting, løser du først en av ligningene for å få en variabel. Deretter setter du inn resultatet for denne variabelen i den andre ligningen.

$$5x-2y=1,3x+5y=13$$

Velg én av ligningene, og løs den for x ved å isolere x på venstre side av likhetstegnet.

$$5x-2y=1$$

Legg til 2y på begge sider av ligningen.

$$5x=2y+1$$

Del begge sidene på 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+1\right)$$

Multipliser \frac{1}{5} ganger 2y+1.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}$$

Sett inn \frac{2y+1}{5} for x i den andre formelen, 3x+5y=13.

$$3\left(\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}\right)+5y=13$$

Multipliser 3 ganger \frac{2y+1}{5}.

$$\frac{6}{5}y+\frac{3}{5}+5y=13$$

Legg sammen \frac{6y}{5} og 5y.

$$\frac{31}{5}y+\frac{3}{5}=13$$

Trekk fra \frac{3}{5} fra begge sider av ligningen.

$$\frac{31}{5}y=\frac{62}{5}$$

Del begge sidene av ligningen på \frac{31}{5}, som er det samme som å multiplisere begge sidene med den resiproke verdien av brøken.

$$y=2$$

Sett inn 2 for y i x=\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse x direkte.

$$x=\frac{2}{5}\times 2+\frac{1}{5}$$

Multipliser \frac{2}{5} ganger 2.

$$x=\frac{4+1}{5}$$

Legg sammen \frac{1}{5} og \frac{4}{5} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x=1$$

Systemet er nå løst.

$$x=1,y=2$$

Fremgangsmåten ved hjelp av matriser

Skriv ligningene i standardformat, og bruk matriser til å løse ligningssystemet.

$$5x-2y=1,3x+5y=13$$

Skriv ligningen i matriseform.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Venstremultipliser formelen med den inverse matrisen til \left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Produktet av en matrise og dens inverse matrise er identitetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Multiplisere matriser på venstre side av likhetstegnet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

For 2\times 2-matrisen \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er den inverse matrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), så matriseligningen kan skrives om som matrisemultiplikasjon.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}&\frac{2}{31}\\-\frac{3}{31}&\frac{5}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Multipliser matrisene.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}+\frac{2}{31}\times 13\\-\frac{3}{31}+\frac{5}{31}\times 13\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Trekk ut matriseelementene x og y.

$$x=1,y=2$$

Fremgangsmåten ved hjelp av eliminasjon

Hvis du vil løse ved eliminasjon, må koeffisienten til en av variablene være den samme i begge formlene, slik at variabelen elimineres når én ligning trekkes fra den andre.

$$5x-2y=1,3x+5y=13$$

For å gjøre 5x og 3x lik multipliserer du alle leddene på hver side av den første ligningen med 3 og alle leddene på hver side av den andre ligningen med 5.

$$3\times 5x+3\left(-2\right)y=3,5\times 3x+5\times 5y=5\times 13$$

Forenkle.

$$15x-6y=3,15x+25y=65$$

Trekk fra 15x+25y=65 fra 15x-6y=3 ved å trekke fra tilsvarende ledd på hver side av likhetstegnet.

$$15x-15x-6y-25y=3-65$$

Legg sammen 15x og -15x. Leddene 15x og -15x eliminerer hverandre, slik at vi får en formel med bare én variabel som kan løses.

$$-6y-25y=3-65$$

Legg sammen -6y og -25y.

$$-31y=3-65$$

Legg sammen 3 og -65.

$$-31y=-62$$

Del begge sidene på -31.

$$y=2$$

Sett inn 2 for y i 3x+5y=13. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse x direkte.

$$3x+5\times 2=13$$

Multipliser 5 ganger 2.

$$3x+10=13$$

Trekk fra 10 fra begge sider av ligningen.

$$3x=3$$

Del begge sidene på 3.

$$x=1$$

Systemet er nå løst.

$$x=1,y=2$$