Løs 5x^2-9x-1>0

$$5 x ^ { 2 } - 9 x - 1 > 0$$

Løs for x

$$x\in \left(-\infty,\frac{9-\sqrt{101}}{10}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{101}+9}{10},\infty\right)$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Faktoriser venstre side for å løse ulikheten. Kvadratisk ligning for polynom kan faktoriseres ved hjelp av transformasjonen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), der x_{1} og x_{2} er løsningene for den kvadratiske ligningen ax^{2}+bx+c=0.

$$5x^{2}-9x-1=0$$

Alle ligningene av typen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske ligningen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstatt 5 med a, -9 med b, og -1 med c i den kvadratiske ligningen.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 5\left(-1\right)}}{2\times 5}$$

Utfør beregningene.

$$x=\frac{9±\sqrt{101}}{10}$$

Løs ligningen x=\frac{9±\sqrt{101}}{10} når ± er pluss og ± er minus.

$$x=\frac{\sqrt{101}+9}{10} x=\frac{9-\sqrt{101}}{10}$$

Skriv om ulikheten ved hjelp av de oppnådde løsningene.

$$5\left(x-\frac{\sqrt{101}+9}{10}\right)\left(x-\frac{9-\sqrt{101}}{10}\right)>0$$

Hvis produktet skal være positivt, x-\frac{\sqrt{101}+9}{10} og x-\frac{9-\sqrt{101}}{10} må være både negative eller positive. Vurder saken når både x-\frac{\sqrt{101}+9}{10} og x-\frac{9-\sqrt{101}}{10} er negative.

$$x-\frac{\sqrt{101}+9}{10}<0 x-\frac{9-\sqrt{101}}{10}<0$$

Løsningen som oppfyller begge ulikhetene, er x<\frac{9-\sqrt{101}}{10}.

$$x<\frac{9-\sqrt{101}}{10}$$

Vurder saken når x-\frac{\sqrt{101}+9}{10} og x-\frac{9-\sqrt{101}}{10} er positive.

$$x-\frac{9-\sqrt{101}}{10}>0 x-\frac{\sqrt{101}+9}{10}>0$$

Løsningen som oppfyller begge ulikhetene, er x>\frac{\sqrt{101}+9}{10}.

$$x>\frac{\sqrt{101}+9}{10}$$

Den siste løsningen er unionen av de oppnådde løsningene.

$$x<\frac{9-\sqrt{101}}{10}\text{; }x>\frac{\sqrt{101}+9}{10}$$