Løs 5x^2-7x-3=0

$$5 x ^ { 2 } - 7 x - 3 = 0$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{109} + 7}{10} \approx 1,744030651$$

$$x=\frac{7-\sqrt{109}}{10}\approx -0,344030651$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$5x^{2}-7x-3=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 5 for a, -7 for b og -3 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 5\left(-3\right)}}{2\times 5}$$

Kvadrer -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 5\left(-3\right)}}{2\times 5}$$

Multipliser -4 ganger 5.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-20\left(-3\right)}}{2\times 5}$$

Multipliser -20 ganger -3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+60}}{2\times 5}$$

Legg sammen 49 og 60.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{109}}{2\times 5}$$

Det motsatte av -7 er 7.

$$x=\frac{7±\sqrt{109}}{2\times 5}$$

Multipliser 2 ganger 5.

$$x=\frac{7±\sqrt{109}}{10}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{7±\sqrt{109}}{10} når ± er pluss. Legg sammen 7 og \sqrt{109}.

$$x=\frac{\sqrt{109}+7}{10}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{7±\sqrt{109}}{10} når ± er minus. Trekk fra \sqrt{109} fra 7.

$$x=\frac{7-\sqrt{109}}{10}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{\sqrt{109}+7}{10} x=\frac{7-\sqrt{109}}{10}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-7x-3=0$$

Legg til 3 på begge sider av ligningen.

$$5x^{2}-7x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Når du trekker fra -3 fra seg selv har du 0 igjen.

$$5x^{2}-7x=-\left(-3\right)$$

Trekk fra -3 fra 0.

$$5x^{2}-7x=3$$

Del begge sidene på 5.

$$\frac{5x^{2}-7x}{5}=\frac{3}{5}$$

Hvis du deler på 5, gjør du om gangingen med 5.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x=\frac{3}{5}$$

Del -\frac{7}{5}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{7}{10}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{7}{10} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{3}{5}+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{7}{10} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{3}{5}+\frac{49}{100}$$

Legg sammen \frac{3}{5} og \frac{49}{100} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{109}{100}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{109}{100}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{109}{100}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{7}{10}=\frac{\sqrt{109}}{10} x-\frac{7}{10}=-\frac{\sqrt{109}}{10}$$

Legg til \frac{7}{10} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{109}+7}{10} x=\frac{7-\sqrt{109}}{10}$$