Løs 5x^2-7x=24

$$5 x ^ { 2 } - 7 x = 24$$

Løs for x

$$x = -\frac{8}{5} = -1\frac{3}{5} = -1,6$$

$$x=3$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Trekk fra 24 fra begge sider.

$$5x^{2}-7x-24=0$$

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 5x^{2}+ax+bx-24. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-7 ab=5\left(-24\right)=-120$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er negativ, har negative tallet større absolutt verdi enn positiv. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -120.

$$1,-120 2,-60 3,-40 4,-30 5,-24 6,-20 8,-15 10,-12$$

Beregn summen for hvert par.

$$1-120=-119 2-60=-58 3-40=-37 4-30=-26 5-24=-19 6-20=-14 8-15=-7 10-12=-2$$

Løsningen er paret som gir Summer -7.

$$a=-15 b=8$$

Skriv om 5x^{2}-7x-24 som \left(5x^{2}-15x\right)+\left(8x-24\right).

$$\left(5x^{2}-15x\right)+\left(8x-24\right)$$

Faktor ut 5x i den første og 8 i den andre gruppen.

$$5x\left(x-3\right)+8\left(x-3\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-3 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-3\right)\left(5x+8\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-3=0 og 5x+8=0.

$$x=3 x=-\frac{8}{5}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$5x^{2}-7x=24$$

Trekk fra 24 fra begge sider av ligningen.

$$5x^{2}-7x-24=24-24$$

Når du trekker fra 24 fra seg selv har du 0 igjen.

$$5x^{2}-7x-24=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 5 for a, -7 for b og -24 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 5\left(-24\right)}}{2\times 5}$$

Kvadrer -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 5\left(-24\right)}}{2\times 5}$$

Multipliser -4 ganger 5.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-20\left(-24\right)}}{2\times 5}$$

Multipliser -20 ganger -24.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+480}}{2\times 5}$$

Legg sammen 49 og 480.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{529}}{2\times 5}$$

Ta kvadratroten av 529.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±23}{2\times 5}$$

Det motsatte av -7 er 7.

$$x=\frac{7±23}{2\times 5}$$

Multipliser 2 ganger 5.

$$x=\frac{7±23}{10}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{7±23}{10} når ± er pluss. Legg sammen 7 og 23.

$$x=\frac{30}{10}$$

Del 30 på 10.

$$x=3$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{7±23}{10} når ± er minus. Trekk fra 23 fra 7.

$$x=-\frac{16}{10}$$

Forkort brøken \frac{-16}{10} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x=-\frac{8}{5}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=3 x=-\frac{8}{5}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-7x=24$$

Del begge sidene på 5.

$$\frac{5x^{2}-7x}{5}=\frac{24}{5}$$

Hvis du deler på 5, gjør du om gangingen med 5.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x=\frac{24}{5}$$

Del -\frac{7}{5}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{7}{10}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{7}{10} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{24}{5}+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{7}{10} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{24}{5}+\frac{49}{100}$$

Legg sammen \frac{24}{5} og \frac{49}{100} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{529}{100}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{529}{100}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{100}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{7}{10}=\frac{23}{10} x-\frac{7}{10}=-\frac{23}{10}$$

Legg til \frac{7}{10} på begge sider av ligningen.

$$x=3 x=-\frac{8}{5}$$