Løs 5x^2-40x-45=0

$$5 x ^ { 2 } - 40 x - 45 = 0$$

Løs for x

$$x=-1$$

$$x=9$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Del begge sidene på 5.

$$x^{2}-8x-9=0$$

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som x^{2}+ax+bx-9. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-8 ab=1\left(-9\right)=-9$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er negativ, har negative tallet større absolutt verdi enn positiv. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -9.

$$1,-9 3,-3$$

Beregn summen for hvert par.

$$1-9=-8 3-3=0$$

Løsningen er paret som gir Summer -8.

$$a=-9 b=1$$

Skriv om x^{2}-8x-9 som \left(x^{2}-9x\right)+\left(x-9\right).

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(x-9\right)$$

Faktorer ut x i x^{2}-9x.

$$x\left(x-9\right)+x-9$$

Faktorer ut det felles leddet x-9 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-9\right)\left(x+1\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-9=0 og x+1=0.

$$x=9 x=-1$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$5x^{2}-40x-45=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 5 for a, -40 for b og -45 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 5\left(-45\right)}}{2\times 5}$$

Kvadrer -40.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 5\left(-45\right)}}{2\times 5}$$

Multipliser -4 ganger 5.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-20\left(-45\right)}}{2\times 5}$$

Multipliser -20 ganger -45.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600+900}}{2\times 5}$$

Legg sammen 1600 og 900.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{2500}}{2\times 5}$$

Ta kvadratroten av 2500.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±50}{2\times 5}$$

Det motsatte av -40 er 40.

$$x=\frac{40±50}{2\times 5}$$

Multipliser 2 ganger 5.

$$x=\frac{40±50}{10}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{40±50}{10} når ± er pluss. Legg sammen 40 og 50.

$$x=\frac{90}{10}$$

Del 90 på 10.

$$x=9$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{40±50}{10} når ± er minus. Trekk fra 50 fra 40.

$$x=-\frac{10}{10}$$

Del -10 på 10.

$$x=-1$$

Ligningen er nå løst.

$$x=9 x=-1$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-40x-45=0$$

Legg til 45 på begge sider av ligningen.

$$5x^{2}-40x-45-\left(-45\right)=-\left(-45\right)$$

Når du trekker fra -45 fra seg selv har du 0 igjen.

$$5x^{2}-40x=-\left(-45\right)$$

Trekk fra -45 fra 0.

$$5x^{2}-40x=45$$

Del begge sidene på 5.

$$\frac{5x^{2}-40x}{5}=\frac{45}{5}$$

Hvis du deler på 5, gjør du om gangingen med 5.

$$x^{2}+\left(-\frac{40}{5}\right)x=\frac{45}{5}$$

Del -40 på 5.

$$x^{2}-8x=\frac{45}{5}$$

Del 45 på 5.

$$x^{2}-8x=9$$

Del -8, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -4. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -4 på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=9+\left(-4\right)^{2}$$

Kvadrer -4.

$$x^{2}-8x+16=9+16$$

Legg sammen 9 og 16.

$$x^{2}-8x+16=25$$

Faktoriser x^{2}-8x+16. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-4\right)^{2}=25$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

Forenkle.

$$x-4=5 x-4=-5$$

Legg til 4 på begge sider av ligningen.

$$x=9 x=-1$$