Løs 5x^2-40x+85=0

$$5 x ^ { 2 } - 40 x + 85 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=4+i$$

$$x=4-i$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$5x^{2}-40x+85=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 5 for a, -40 for b og 85 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 5\times 85}}{2\times 5}$$

Kvadrer -40.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 5\times 85}}{2\times 5}$$

Multipliser -4 ganger 5.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-20\times 85}}{2\times 5}$$

Multipliser -20 ganger 85.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-1700}}{2\times 5}$$

Legg sammen 1600 og -1700.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{-100}}{2\times 5}$$

Ta kvadratroten av -100.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±10i}{2\times 5}$$

Det motsatte av -40 er 40.

$$x=\frac{40±10i}{2\times 5}$$

Multipliser 2 ganger 5.

$$x=\frac{40±10i}{10}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{40±10i}{10} når ± er pluss. Legg sammen 40 og 10i.

$$x=\frac{40+10i}{10}$$

Del 40+10i på 10.

$$x=4+i$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{40±10i}{10} når ± er minus. Trekk fra 10i fra 40.

$$x=\frac{40-10i}{10}$$

Del 40-10i på 10.

$$x=4-i$$

Ligningen er nå løst.

$$x=4+i x=4-i$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-40x+85=0$$

Trekk fra 85 fra begge sider av ligningen.

$$5x^{2}-40x+85-85=-85$$

Når du trekker fra 85 fra seg selv har du 0 igjen.

$$5x^{2}-40x=-85$$

Del begge sidene på 5.

$$\frac{5x^{2}-40x}{5}=-\frac{85}{5}$$

Hvis du deler på 5, gjør du om gangingen med 5.

$$x^{2}+\left(-\frac{40}{5}\right)x=-\frac{85}{5}$$

Del -40 på 5.

$$x^{2}-8x=-\frac{85}{5}$$

Del -85 på 5.

$$x^{2}-8x=-17$$

Del -8, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -4. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -4 på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=-17+\left(-4\right)^{2}$$

Kvadrer -4.

$$x^{2}-8x+16=-17+16$$

Legg sammen -17 og 16.

$$x^{2}-8x+16=-1$$

Faktoriser x^{2}-8x+16. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-4\right)^{2}=-1$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{-1}$$

Forenkle.

$$x-4=i x-4=-i$$

Legg til 4 på begge sider av ligningen.

$$x=4+i x=4-i$$