Løs 5x^2-3x=9

$$5 x ^ { 2 } - 3 x = 9$$

Løs for x

$$x = \frac{3 \sqrt{21} + 3}{10} \approx 1,674772708$$

$$x=\frac{3-3\sqrt{21}}{10}\approx -1,074772708$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$5x^{2}-3x=9$$

Trekk fra 9 fra begge sider av ligningen.

$$5x^{2}-3x-9=9-9$$

Når du trekker fra 9 fra seg selv har du 0 igjen.

$$5x^{2}-3x-9=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 5 for a, -3 for b og -9 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 5\left(-9\right)}}{2\times 5}$$

Kvadrer -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 5\left(-9\right)}}{2\times 5}$$

Multipliser -4 ganger 5.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-20\left(-9\right)}}{2\times 5}$$

Multipliser -20 ganger -9.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+180}}{2\times 5}$$

Legg sammen 9 og 180.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{189}}{2\times 5}$$

Ta kvadratroten av 189.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±3\sqrt{21}}{2\times 5}$$

Det motsatte av -3 er 3.

$$x=\frac{3±3\sqrt{21}}{2\times 5}$$

Multipliser 2 ganger 5.

$$x=\frac{3±3\sqrt{21}}{10}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{3±3\sqrt{21}}{10} når ± er pluss. Legg sammen 3 og 3\sqrt{21}.

$$x=\frac{3\sqrt{21}+3}{10}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{3±3\sqrt{21}}{10} når ± er minus. Trekk fra 3\sqrt{21} fra 3.

$$x=\frac{3-3\sqrt{21}}{10}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{3\sqrt{21}+3}{10} x=\frac{3-3\sqrt{21}}{10}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-3x=9$$

Del begge sidene på 5.

$$\frac{5x^{2}-3x}{5}=\frac{9}{5}$$

Hvis du deler på 5, gjør du om gangingen med 5.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x=\frac{9}{5}$$

Divider -\frac{3}{5}, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få -\frac{3}{10}. Legg deretter til kvadratet av -\frac{3}{10} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{9}{5}+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{3}{10} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=\frac{9}{5}+\frac{9}{100}$$

Legg sammen \frac{9}{5} og \frac{9}{100} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=\frac{189}{100}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{189}{100}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{189}{100}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{3}{10}=\frac{3\sqrt{21}}{10} x-\frac{3}{10}=-\frac{3\sqrt{21}}{10}$$

Legg til \frac{3}{10} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{3\sqrt{21}+3}{10} x=\frac{3-3\sqrt{21}}{10}$$