Løs 5x^2-20x+15=0

$$5 x ^ { 2 } - 20 x + 15 = 0$$

Løs for x

$$x=1$$

$$x=3$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Del begge sidene på 5.

$$x^{2}-4x+3=0$$

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som x^{2}+ax+bx+3. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-4 ab=1\times 3=3$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er negativ, er både a og b negative. Det eneste paret er system løsningen.

$$a=-3 b=-1$$

Skriv om x^{2}-4x+3 som \left(x^{2}-3x\right)+\left(-x+3\right).

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(-x+3\right)$$

Faktor ut x i den første og -1 i den andre gruppen.

$$x\left(x-3\right)-\left(x-3\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-3 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-3\right)\left(x-1\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-3=0 og x-1=0.

$$x=3 x=1$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$5x^{2}-20x+15=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 5 for a, -20 for b og 15 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 5\times 15}}{2\times 5}$$

Kvadrer -20.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\times 5\times 15}}{2\times 5}$$

Multipliser -4 ganger 5.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-20\times 15}}{2\times 5}$$

Multipliser -20 ganger 15.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-300}}{2\times 5}$$

Legg sammen 400 og -300.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{100}}{2\times 5}$$

Ta kvadratroten av 100.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±10}{2\times 5}$$

Det motsatte av -20 er 20.

$$x=\frac{20±10}{2\times 5}$$

Multipliser 2 ganger 5.

$$x=\frac{20±10}{10}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{20±10}{10} når ± er pluss. Legg sammen 20 og 10.

$$x=\frac{30}{10}$$

Del 30 på 10.

$$x=3$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{20±10}{10} når ± er minus. Trekk fra 10 fra 20.

$$x=\frac{10}{10}$$

Del 10 på 10.

$$x=1$$

Ligningen er nå løst.

$$x=3 x=1$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-20x+15=0$$

Trekk fra 15 fra begge sider av ligningen.

$$5x^{2}-20x+15-15=-15$$

Når du trekker fra 15 fra seg selv har du 0 igjen.

$$5x^{2}-20x=-15$$

Del begge sidene på 5.

$$\frac{5x^{2}-20x}{5}=-\frac{15}{5}$$

Hvis du deler på 5, gjør du om gangingen med 5.

$$x^{2}+\left(-\frac{20}{5}\right)x=-\frac{15}{5}$$

Del -20 på 5.

$$x^{2}-4x=-\frac{15}{5}$$

Del -15 på 5.

$$x^{2}-4x=-3$$

Del -4, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -2. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -2 på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-3+\left(-2\right)^{2}$$

Kvadrer -2.

$$x^{2}-4x+4=-3+4$$

Legg sammen -3 og 4.

$$x^{2}-4x+4=1$$

Faktoriser x^{2}-4x+4. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=1$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Forenkle.

$$x-2=1 x-2=-1$$

Legg til 2 på begge sider av ligningen.

$$x=3 x=1$$