Løs 5x^2-2x-16=0

$$5 x ^ { 2 } - 2 x - 16 = 0$$

Løs for x

$$x = -\frac{8}{5} = -1\frac{3}{5} = -1,6$$

$$x=2$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 5x^{2}+ax+bx-16. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-2 ab=5\left(-16\right)=-80$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er negativ, har negative tallet større absolutt verdi enn positiv. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -80.

$$1,-80 2,-40 4,-20 5,-16 8,-10$$

Beregn summen for hvert par.

$$1-80=-79 2-40=-38 4-20=-16 5-16=-11 8-10=-2$$

Løsningen er paret som gir Summer -2.

$$a=-10 b=8$$

Skriv om 5x^{2}-2x-16 som \left(5x^{2}-10x\right)+\left(8x-16\right).

$$\left(5x^{2}-10x\right)+\left(8x-16\right)$$

Faktor ut 5x i den første og 8 i den andre gruppen.

$$5x\left(x-2\right)+8\left(x-2\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-2 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-2\right)\left(5x+8\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-2=0 og 5x+8=0.

$$x=2 x=-\frac{8}{5}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$5x^{2}-2x-16=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 5 for a, -2 for b og -16 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 5\left(-16\right)}}{2\times 5}$$

Kvadrer -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 5\left(-16\right)}}{2\times 5}$$

Multipliser -4 ganger 5.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-20\left(-16\right)}}{2\times 5}$$

Multipliser -20 ganger -16.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+320}}{2\times 5}$$

Legg sammen 4 og 320.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{324}}{2\times 5}$$

Ta kvadratroten av 324.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±18}{2\times 5}$$

Det motsatte av -2 er 2.

$$x=\frac{2±18}{2\times 5}$$

Multipliser 2 ganger 5.

$$x=\frac{2±18}{10}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{2±18}{10} når ± er pluss. Legg sammen 2 og 18.

$$x=\frac{20}{10}$$

Del 20 på 10.

$$x=2$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{2±18}{10} når ± er minus. Trekk fra 18 fra 2.

$$x=-\frac{16}{10}$$

Forkort brøken \frac{-16}{10} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x=-\frac{8}{5}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=2 x=-\frac{8}{5}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-2x-16=0$$

Legg til 16 på begge sider av ligningen.

$$5x^{2}-2x-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

Når du trekker fra -16 fra seg selv har du 0 igjen.

$$5x^{2}-2x=-\left(-16\right)$$

Trekk fra -16 fra 0.

$$5x^{2}-2x=16$$

Del begge sidene på 5.

$$\frac{5x^{2}-2x}{5}=\frac{16}{5}$$

Hvis du deler på 5, gjør du om gangingen med 5.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=\frac{16}{5}$$

Del -\frac{2}{5}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{1}{5}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{1}{5} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{16}{5}+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{1}{5} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=\frac{16}{5}+\frac{1}{25}$$

Legg sammen \frac{16}{5} og \frac{1}{25} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=\frac{81}{25}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{81}{25}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{25}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{1}{5}=\frac{9}{5} x-\frac{1}{5}=-\frac{9}{5}$$

Legg til \frac{1}{5} på begge sider av ligningen.

$$x=2 x=-\frac{8}{5}$$