Løs 5x^2-12x-9=0

$$5 x ^ { 2 } - 12 x - 9 = 0$$

Løs for x

$$x=-\frac{3}{5}=-0,6$$

$$x=3$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 5x^{2}+ax+bx-9. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-12 ab=5\left(-9\right)=-45$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er negativ, har negative tallet større absolutt verdi enn positiv. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -45.

$$1,-45 3,-15 5,-9$$

Beregn summen for hvert par.

$$1-45=-44 3-15=-12 5-9=-4$$

Løsningen er paret som gir Summer -12.

$$a=-15 b=3$$

Skriv om 5x^{2}-12x-9 som \left(5x^{2}-15x\right)+\left(3x-9\right).

$$\left(5x^{2}-15x\right)+\left(3x-9\right)$$

Faktor ut 5x i den første og 3 i den andre gruppen.

$$5x\left(x-3\right)+3\left(x-3\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-3 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-3\right)\left(5x+3\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-3=0 og 5x+3=0.

$$x=3 x=-\frac{3}{5}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$5x^{2}-12x-9=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 5 for a, -12 for b og -9 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 5\left(-9\right)}}{2\times 5}$$

Kvadrer -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 5\left(-9\right)}}{2\times 5}$$

Multipliser -4 ganger 5.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-20\left(-9\right)}}{2\times 5}$$

Multipliser -20 ganger -9.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+180}}{2\times 5}$$

Legg sammen 144 og 180.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{324}}{2\times 5}$$

Ta kvadratroten av 324.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±18}{2\times 5}$$

Det motsatte av -12 er 12.

$$x=\frac{12±18}{2\times 5}$$

Multipliser 2 ganger 5.

$$x=\frac{12±18}{10}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{12±18}{10} når ± er pluss. Legg sammen 12 og 18.

$$x=\frac{30}{10}$$

Del 30 på 10.

$$x=3$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{12±18}{10} når ± er minus. Trekk fra 18 fra 12.

$$x=-\frac{6}{10}$$

Forkort brøken \frac{-6}{10} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x=-\frac{3}{5}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=3 x=-\frac{3}{5}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-12x-9=0$$

Legg til 9 på begge sider av ligningen.

$$5x^{2}-12x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Når du trekker fra -9 fra seg selv har du 0 igjen.

$$5x^{2}-12x=-\left(-9\right)$$

Trekk fra -9 fra 0.

$$5x^{2}-12x=9$$

Del begge sidene på 5.

$$\frac{5x^{2}-12x}{5}=\frac{9}{5}$$

Hvis du deler på 5, gjør du om gangingen med 5.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x=\frac{9}{5}$$

Del -\frac{12}{5}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{6}{5}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{6}{5} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\left(-\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{9}{5}+\left(-\frac{6}{5}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{6}{5} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=\frac{9}{5}+\frac{36}{25}$$

Legg sammen \frac{9}{5} og \frac{36}{25} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=\frac{81}{25}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{81}{25}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{25}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{6}{5}=\frac{9}{5} x-\frac{6}{5}=-\frac{9}{5}$$

Legg til \frac{6}{5} på begge sider av ligningen.

$$x=3 x=-\frac{3}{5}$$