Løs 5x^2-10x-40=0

$$5 x ^ { 2 } - 10 x - 40 = 0$$

Løs for x

$$x=-2$$

$$x=4$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Del begge sidene på 5.

$$x^{2}-2x-8=0$$

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som x^{2}+ax+bx-8. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-2 ab=1\left(-8\right)=-8$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er negativ, har negative tallet større absolutt verdi enn positiv. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -8.

$$1,-8 2,-4$$

Beregn summen for hvert par.

$$1-8=-7 2-4=-2$$

Løsningen er paret som gir Summer -2.

$$a=-4 b=2$$

Skriv om x^{2}-2x-8 som \left(x^{2}-4x\right)+\left(2x-8\right).

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(2x-8\right)$$

Faktor ut x i den første og 2 i den andre gruppen.

$$x\left(x-4\right)+2\left(x-4\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-4 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-4\right)\left(x+2\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-4=0 og x+2=0.

$$x=4 x=-2$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$5x^{2}-10x-40=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 5 for a, -10 for b og -40 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 5\left(-40\right)}}{2\times 5}$$

Kvadrer -10.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 5\left(-40\right)}}{2\times 5}$$

Multipliser -4 ganger 5.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-20\left(-40\right)}}{2\times 5}$$

Multipliser -20 ganger -40.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+800}}{2\times 5}$$

Legg sammen 100 og 800.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{900}}{2\times 5}$$

Ta kvadratroten av 900.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±30}{2\times 5}$$

Det motsatte av -10 er 10.

$$x=\frac{10±30}{2\times 5}$$

Multipliser 2 ganger 5.

$$x=\frac{10±30}{10}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{10±30}{10} når ± er pluss. Legg sammen 10 og 30.

$$x=\frac{40}{10}$$

Del 40 på 10.

$$x=4$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{10±30}{10} når ± er minus. Trekk fra 30 fra 10.

$$x=-\frac{20}{10}$$

Del -20 på 10.

$$x=-2$$

Ligningen er nå løst.

$$x=4 x=-2$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-10x-40=0$$

Legg til 40 på begge sider av ligningen.

$$5x^{2}-10x-40-\left(-40\right)=-\left(-40\right)$$

Når du trekker fra -40 fra seg selv har du 0 igjen.

$$5x^{2}-10x=-\left(-40\right)$$

Trekk fra -40 fra 0.

$$5x^{2}-10x=40$$

Del begge sidene på 5.

$$\frac{5x^{2}-10x}{5}=\frac{40}{5}$$

Hvis du deler på 5, gjør du om gangingen med 5.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{5}\right)x=\frac{40}{5}$$

Del -10 på 5.

$$x^{2}-2x=\frac{40}{5}$$

Del 40 på 5.

$$x^{2}-2x=8$$

Del -2, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -1. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -1 på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-2x+1=8+1$$

Legg sammen 8 og 1.

$$x^{2}-2x+1=9$$

Faktoriser x^{2}-2x+1. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=9$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Forenkle.

$$x-1=3 x-1=-3$$

Legg til 1 på begge sider av ligningen.

$$x=4 x=-2$$