Løs 5x^2+70x-75=0

$$5 x ^ { 2 } + 70 x - 75 = 0$$

Løs for x

$$x=-15$$

$$x=1$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Del begge sidene på 5.

$$x^{2}+14x-15=0$$

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som x^{2}+ax+bx-15. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=14 ab=1\left(-15\right)=-15$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -15.

$$-1,15 -3,5$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

Løsningen er paret som gir Summer 14.

$$a=-1 b=15$$

Skriv om x^{2}+14x-15 som \left(x^{2}-x\right)+\left(15x-15\right).

$$\left(x^{2}-x\right)+\left(15x-15\right)$$

Faktor ut x i den første og 15 i den andre gruppen.

$$x\left(x-1\right)+15\left(x-1\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-1 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-1\right)\left(x+15\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-1=0 og x+15=0.

$$x=1 x=-15$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$5x^{2}+70x-75=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 5 for a, 70 for b og -75 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-70±\sqrt{70^{2}-4\times 5\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

Kvadrer 70.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-4\times 5\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

Multipliser -4 ganger 5.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-20\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

Multipliser -20 ganger -75.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900+1500}}{2\times 5}$$

Legg sammen 4900 og 1500.

$$x=\frac{-70±\sqrt{6400}}{2\times 5}$$

Ta kvadratroten av 6400.

$$x=\frac{-70±80}{2\times 5}$$

Multipliser 2 ganger 5.

$$x=\frac{-70±80}{10}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-70±80}{10} når ± er pluss. Legg sammen -70 og 80.

$$x=\frac{10}{10}$$

Del 10 på 10.

$$x=1$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-70±80}{10} når ± er minus. Trekk fra 80 fra -70.

$$x=-\frac{150}{10}$$

Del -150 på 10.

$$x=-15$$

Ligningen er nå løst.

$$x=1 x=-15$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+70x-75=0$$

Legg til 75 på begge sider av ligningen.

$$5x^{2}+70x-75-\left(-75\right)=-\left(-75\right)$$

Når du trekker fra -75 fra seg selv har du 0 igjen.

$$5x^{2}+70x=-\left(-75\right)$$

Trekk fra -75 fra 0.

$$5x^{2}+70x=75$$

Del begge sidene på 5.

$$\frac{5x^{2}+70x}{5}=\frac{75}{5}$$

Hvis du deler på 5, gjør du om gangingen med 5.

$$x^{2}+\frac{70}{5}x=\frac{75}{5}$$

Del 70 på 5.

$$x^{2}+14x=\frac{75}{5}$$

Del 75 på 5.

$$x^{2}+14x=15$$

Del 14, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få 7. Deretter legger du til kvadrat firkanten av 7 på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+14x+7^{2}=15+7^{2}$$

Kvadrer 7.

$$x^{2}+14x+49=15+49$$

Legg sammen 15 og 49.

$$x^{2}+14x+49=64$$

Faktoriser x^{2}+14x+49. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+7\right)^{2}=64$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+7\right)^{2}}=\sqrt{64}$$

Forenkle.

$$x+7=8 x+7=-8$$

Trekk fra 7 fra begge sider av ligningen.

$$x=1 x=-15$$