Løs 5x^2+60x+180=0

$$5 x ^ { 2 } + 60 x + 180 = 0$$

Løs for x

$$x=-6$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Del begge sidene på 5.

$$x^{2}+12x+36=0$$

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som x^{2}+ax+bx+36. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=12 ab=1\times 36=36$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er positiv, er a og b positive. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 36.

$$1,36 2,18 3,12 4,9 6,6$$

Beregn summen for hvert par.

$$1+36=37 2+18=20 3+12=15 4+9=13 6+6=12$$

Løsningen er paret som gir Summer 12.

$$a=6 b=6$$

Skriv om x^{2}+12x+36 som \left(x^{2}+6x\right)+\left(6x+36\right).

$$\left(x^{2}+6x\right)+\left(6x+36\right)$$

Faktor ut x i den første og 6 i den andre gruppen.

$$x\left(x+6\right)+6\left(x+6\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x+6 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x+6\right)\left(x+6\right)$$

Skriv på nytt som et binomialt kvadrat.

$$\left(x+6\right)^{2}$$

Hvis du vil finne formelløsningen, kan du løse x+6=0.

$$x=-6$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$5x^{2}+60x+180=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 5 for a, 60 for b og 180 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-60±\sqrt{60^{2}-4\times 5\times 180}}{2\times 5}$$

Kvadrer 60.

$$x=\frac{-60±\sqrt{3600-4\times 5\times 180}}{2\times 5}$$

Multipliser -4 ganger 5.

$$x=\frac{-60±\sqrt{3600-20\times 180}}{2\times 5}$$

Multipliser -20 ganger 180.

$$x=\frac{-60±\sqrt{3600-3600}}{2\times 5}$$

Legg sammen 3600 og -3600.

$$x=\frac{-60±\sqrt{0}}{2\times 5}$$

Ta kvadratroten av 0.

$$x=-\frac{60}{2\times 5}$$

Multipliser 2 ganger 5.

$$x=-\frac{60}{10}$$

Del -60 på 10.

$$x=-6$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+60x+180=0$$

Trekk fra 180 fra begge sider av ligningen.

$$5x^{2}+60x+180-180=-180$$

Når du trekker fra 180 fra seg selv har du 0 igjen.

$$5x^{2}+60x=-180$$

Del begge sidene på 5.

$$\frac{5x^{2}+60x}{5}=-\frac{180}{5}$$

Hvis du deler på 5, gjør du om gangingen med 5.

$$x^{2}+\frac{60}{5}x=-\frac{180}{5}$$

Del 60 på 5.

$$x^{2}+12x=-\frac{180}{5}$$

Del -180 på 5.

$$x^{2}+12x=-36$$

Del 12, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få 6. Deretter legger du til kvadrat firkanten av 6 på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+12x+6^{2}=-36+6^{2}$$

Kvadrer 6.

$$x^{2}+12x+36=-36+36$$

Legg sammen -36 og 36.

$$x^{2}+12x+36=0$$

Faktoriser x^{2}+12x+36. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+6\right)^{2}=0$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Forenkle.

$$x+6=0 x+6=0$$

Trekk fra 6 fra begge sider av ligningen.

$$x=-6 x=-6$$

Ligningen er nå løst. Løsninger er de samme.

$$x=-6$$