Løs 5x^2+6x+10=0

$$5 x ^ { 2 } + 6 x + 10 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{41}i}{5}\approx -0,6+1,280624847i$$

$$x=\frac{-\sqrt{41}i-3}{5}\approx -0,6-1,280624847i$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$5x^{2}+6x+10=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 5 for a, 6 for b og 10 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

Kvadrer 6.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

Multipliser -4 ganger 5.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-20\times 10}}{2\times 5}$$

Multipliser -20 ganger 10.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-200}}{2\times 5}$$

Legg sammen 36 og -200.

$$x=\frac{-6±\sqrt{-164}}{2\times 5}$$

Ta kvadratroten av -164.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{41}i}{2\times 5}$$

Multipliser 2 ganger 5.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{41}i}{10}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-6±2\sqrt{41}i}{10} når ± er pluss. Legg sammen -6 og 2i\sqrt{41}.

$$x=\frac{-6+2\sqrt{41}i}{10}$$

Del -6+2i\sqrt{41} på 10.

$$x=\frac{-3+\sqrt{41}i}{5}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-6±2\sqrt{41}i}{10} når ± er minus. Trekk fra 2i\sqrt{41} fra -6.

$$x=\frac{-2\sqrt{41}i-6}{10}$$

Del -6-2i\sqrt{41} på 10.

$$x=\frac{-\sqrt{41}i-3}{5}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{-3+\sqrt{41}i}{5} x=\frac{-\sqrt{41}i-3}{5}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+6x+10=0$$

Trekk fra 10 fra begge sider av ligningen.

$$5x^{2}+6x+10-10=-10$$

Når du trekker fra 10 fra seg selv har du 0 igjen.

$$5x^{2}+6x=-10$$

Del begge sidene på 5.

$$\frac{5x^{2}+6x}{5}=-\frac{10}{5}$$

Hvis du deler på 5, gjør du om gangingen med 5.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=-\frac{10}{5}$$

Del -10 på 5.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=-2$$

Divider \frac{6}{5}, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få \frac{3}{5}. Legg deretter til kvadratet av \frac{3}{5} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=-2+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{3}{5} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=-2+\frac{9}{25}$$

Legg sammen -2 og \frac{9}{25}.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=-\frac{41}{25}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}=-\frac{41}{25}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{41}{25}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{3}{5}=\frac{\sqrt{41}i}{5} x+\frac{3}{5}=-\frac{\sqrt{41}i}{5}$$

Trekk fra \frac{3}{5} fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{-3+\sqrt{41}i}{5} x=\frac{-\sqrt{41}i-3}{5}$$