Løs 5x^2+3x+1=0

$$5 x ^ { 2 } + 3 x + 1 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10}\approx -0,3+0,331662479i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}\approx -0,3-0,331662479i$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$5x^{2}+3x+1=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 5 for a, 3 for b og 1 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 5}}{2\times 5}$$

Kvadrer 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 5}}{2\times 5}$$

Multipliser -4 ganger 5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-20}}{2\times 5}$$

Legg sammen 9 og -20.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-11}}{2\times 5}$$

Ta kvadratroten av -11.

$$x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{2\times 5}$$

Multipliser 2 ganger 5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10} når ± er pluss. Legg sammen -3 og i\sqrt{11}.

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10} når ± er minus. Trekk fra i\sqrt{11} fra -3.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10} x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+3x+1=0$$

Trekk fra 1 fra begge sider av ligningen.

$$5x^{2}+3x+1-1=-1$$

Når du trekker fra 1 fra seg selv har du 0 igjen.

$$5x^{2}+3x=-1$$

Del begge sidene på 5.

$$\frac{5x^{2}+3x}{5}=-\frac{1}{5}$$

Hvis du deler på 5, gjør du om gangingen med 5.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x=-\frac{1}{5}$$

Divider \frac{3}{5}, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få \frac{3}{10}. Legg deretter til kvadratet av \frac{3}{10} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{1}{5}+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{3}{10} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{1}{5}+\frac{9}{100}$$

Legg sammen -\frac{1}{5} og \frac{9}{100} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{11}{100}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{11}{100}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{100}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{3}{10}=\frac{\sqrt{11}i}{10} x+\frac{3}{10}=-\frac{\sqrt{11}i}{10}$$

Trekk fra \frac{3}{10} fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10} x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$