Løs 5x^2+2x+8=0

$$5 x ^ { 2 } + 2 x + 8 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{39}i}{5}\approx -0,2+1,2489996i$$

$$x=\frac{-\sqrt{39}i-1}{5}\approx -0,2-1,2489996i$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$5x^{2}+2x+8=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 5 for a, 2 for b og 8 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 5\times 8}}{2\times 5}$$

Kvadrer 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 5\times 8}}{2\times 5}$$

Multipliser -4 ganger 5.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-20\times 8}}{2\times 5}$$

Multipliser -20 ganger 8.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-160}}{2\times 5}$$

Legg sammen 4 og -160.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-156}}{2\times 5}$$

Ta kvadratroten av -156.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{39}i}{2\times 5}$$

Multipliser 2 ganger 5.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{39}i}{10}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-2±2\sqrt{39}i}{10} når ± er pluss. Legg sammen -2 og 2i\sqrt{39}.

$$x=\frac{-2+2\sqrt{39}i}{10}$$

Del -2+2i\sqrt{39} på 10.

$$x=\frac{-1+\sqrt{39}i}{5}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-2±2\sqrt{39}i}{10} når ± er minus. Trekk fra 2i\sqrt{39} fra -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{39}i-2}{10}$$

Del -2-2i\sqrt{39} på 10.

$$x=\frac{-\sqrt{39}i-1}{5}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{-1+\sqrt{39}i}{5} x=\frac{-\sqrt{39}i-1}{5}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+2x+8=0$$

Trekk fra 8 fra begge sider av ligningen.

$$5x^{2}+2x+8-8=-8$$

Når du trekker fra 8 fra seg selv har du 0 igjen.

$$5x^{2}+2x=-8$$

Del begge sidene på 5.

$$\frac{5x^{2}+2x}{5}=-\frac{8}{5}$$

Hvis du deler på 5, gjør du om gangingen med 5.

$$x^{2}+\frac{2}{5}x=-\frac{8}{5}$$

Del \frac{2}{5}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{1}{5}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{1}{5} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+\frac{2}{5}x+\left(\frac{1}{5}\right)^{2}=-\frac{8}{5}+\left(\frac{1}{5}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{1}{5} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=-\frac{8}{5}+\frac{1}{25}$$

Legg sammen -\frac{8}{5} og \frac{1}{25} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}+\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=-\frac{39}{25}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{5}\right)^{2}=-\frac{39}{25}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{39}{25}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{1}{5}=\frac{\sqrt{39}i}{5} x+\frac{1}{5}=-\frac{\sqrt{39}i}{5}$$

Trekk fra \frac{1}{5} fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{-1+\sqrt{39}i}{5} x=\frac{-\sqrt{39}i-1}{5}$$