Løs 5x^2+18x+1=0

$$5 x ^ { 2 } + 18 x + 1 = 0$$

Løs for x

$$x=\frac{2\sqrt{19}-9}{5}\approx -0,056440423$$

$$x=\frac{-2\sqrt{19}-9}{5}\approx -3,543559577$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$5x^{2}+18x+1=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 5 for a, 18 for b og 1 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\times 5}}{2\times 5}$$

Kvadrer 18.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-4\times 5}}{2\times 5}$$

Multipliser -4 ganger 5.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-20}}{2\times 5}$$

Legg sammen 324 og -20.

$$x=\frac{-18±\sqrt{304}}{2\times 5}$$

Ta kvadratroten av 304.

$$x=\frac{-18±4\sqrt{19}}{2\times 5}$$

Multipliser 2 ganger 5.

$$x=\frac{-18±4\sqrt{19}}{10}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-18±4\sqrt{19}}{10} når ± er pluss. Legg sammen -18 og 4\sqrt{19}.

$$x=\frac{4\sqrt{19}-18}{10}$$

Del -18+4\sqrt{19} på 10.

$$x=\frac{2\sqrt{19}-9}{5}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-18±4\sqrt{19}}{10} når ± er minus. Trekk fra 4\sqrt{19} fra -18.

$$x=\frac{-4\sqrt{19}-18}{10}$$

Del -18-4\sqrt{19} på 10.

$$x=\frac{-2\sqrt{19}-9}{5}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{2\sqrt{19}-9}{5} x=\frac{-2\sqrt{19}-9}{5}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+18x+1=0$$

Trekk fra 1 fra begge sider av ligningen.

$$5x^{2}+18x+1-1=-1$$

Når du trekker fra 1 fra seg selv har du 0 igjen.

$$5x^{2}+18x=-1$$

Del begge sidene på 5.

$$\frac{5x^{2}+18x}{5}=-\frac{1}{5}$$

Hvis du deler på 5, gjør du om gangingen med 5.

$$x^{2}+\frac{18}{5}x=-\frac{1}{5}$$

Del \frac{18}{5}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{9}{5}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{9}{5} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+\frac{18}{5}x+\left(\frac{9}{5}\right)^{2}=-\frac{1}{5}+\left(\frac{9}{5}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{9}{5} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}=-\frac{1}{5}+\frac{81}{25}$$

Legg sammen -\frac{1}{5} og \frac{81}{25} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}+\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}=\frac{76}{25}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{9}{5}\right)^{2}=\frac{76}{25}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{9}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{76}{25}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{9}{5}=\frac{2\sqrt{19}}{5} x+\frac{9}{5}=-\frac{2\sqrt{19}}{5}$$

Trekk fra \frac{9}{5} fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{2\sqrt{19}-9}{5} x=\frac{-2\sqrt{19}-9}{5}$$