Løs 5t^2-72t-108=0

$$5 t ^ { 2 } - 72 t - 108 = 0$$

Løs for t

$$t = \frac{6 \sqrt{51} + 36}{5} \approx 15,769714114$$

$$t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}\approx -1,369714114$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$5t^{2}-72t-108=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 5 for a, -72 for b og -108 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{\left(-72\right)^{2}-4\times 5\left(-108\right)}}{2\times 5}$$

Kvadrer -72.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184-4\times 5\left(-108\right)}}{2\times 5}$$

Multipliser -4 ganger 5.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184-20\left(-108\right)}}{2\times 5}$$

Multipliser -20 ganger -108.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184+2160}}{2\times 5}$$

Legg sammen 5184 og 2160.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{7344}}{2\times 5}$$

Ta kvadratroten av 7344.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±12\sqrt{51}}{2\times 5}$$

Det motsatte av -72 er 72.

$$t=\frac{72±12\sqrt{51}}{2\times 5}$$

Multipliser 2 ganger 5.

$$t=\frac{72±12\sqrt{51}}{10}$$

Nå kan du løse formelen t=\frac{72±12\sqrt{51}}{10} når ± er pluss. Legg sammen 72 og 12\sqrt{51}.

$$t=\frac{12\sqrt{51}+72}{10}$$

Del 72+12\sqrt{51} på 10.

$$t=\frac{6\sqrt{51}+36}{5}$$

Nå kan du løse formelen t=\frac{72±12\sqrt{51}}{10} når ± er minus. Trekk fra 12\sqrt{51} fra 72.

$$t=\frac{72-12\sqrt{51}}{10}$$

Del 72-12\sqrt{51} på 10.

$$t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}$$

Ligningen er nå løst.

$$t=\frac{6\sqrt{51}+36}{5} t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$5t^{2}-72t-108=0$$

Legg til 108 på begge sider av ligningen.

$$5t^{2}-72t-108-\left(-108\right)=-\left(-108\right)$$

Når du trekker fra -108 fra seg selv har du 0 igjen.

$$5t^{2}-72t=-\left(-108\right)$$

Trekk fra -108 fra 0.

$$5t^{2}-72t=108$$

Del begge sidene på 5.

$$\frac{5t^{2}-72t}{5}=\frac{108}{5}$$

Hvis du deler på 5, gjør du om gangingen med 5.

$$t^{2}-\frac{72}{5}t=\frac{108}{5}$$

Del -\frac{72}{5}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{36}{5}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{36}{5} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$t^{2}-\frac{72}{5}t+\left(-\frac{36}{5}\right)^{2}=\frac{108}{5}+\left(-\frac{36}{5}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{36}{5} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$t^{2}-\frac{72}{5}t+\frac{1296}{25}=\frac{108}{5}+\frac{1296}{25}$$

Legg sammen \frac{108}{5} og \frac{1296}{25} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$t^{2}-\frac{72}{5}t+\frac{1296}{25}=\frac{1836}{25}$$

Faktoriser t^{2}-\frac{72}{5}t+\frac{1296}{25}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{36}{5}\right)^{2}=\frac{1836}{25}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(t-\frac{36}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1836}{25}}$$

Forenkle.

$$t-\frac{36}{5}=\frac{6\sqrt{51}}{5} t-\frac{36}{5}=-\frac{6\sqrt{51}}{5}$$

Legg til \frac{36}{5} på begge sider av ligningen.

$$t=\frac{6\sqrt{51}+36}{5} t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}$$