Løs 5a^2-5a-2geq0

$$5 a ^ { 2 } - 5 a - 2 \geq 0$$

Løs for a

$$a\in (-\infty,-\frac{\sqrt{65}}{10}+\frac{1}{2}]\cup [\frac{\sqrt{65}}{10}+\frac{1}{2},\infty)$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Faktoriser venstre side for å løse ulikheten. Kvadratisk ligning for polynom kan faktoriseres ved hjelp av transformasjonen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), der x_{1} og x_{2} er løsningene for den kvadratiske ligningen ax^{2}+bx+c=0.

$$5a^{2}-5a-2=0$$

Alle ligningene av typen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske ligningen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstatt 5 med a, -5 med b, og -2 med c i den kvadratiske ligningen.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 5\left(-2\right)}}{2\times 5}$$

Utfør beregningene.

$$a=\frac{5±\sqrt{65}}{10}$$

Løs ligningen a=\frac{5±\sqrt{65}}{10} når ± er pluss og ± er minus.

$$a=\frac{\sqrt{65}}{10}+\frac{1}{2} a=-\frac{\sqrt{65}}{10}+\frac{1}{2}$$

Skriv om ulikheten ved hjelp av de oppnådde løsningene.

$$5\left(a-\left(\frac{\sqrt{65}}{10}+\frac{1}{2}\right)\right)\left(a-\left(-\frac{\sqrt{65}}{10}+\frac{1}{2}\right)\right)\geq 0$$

For at produktet skal være ≥0, a-\left(\frac{\sqrt{65}}{10}+\frac{1}{2}\right) og a-\left(-\frac{\sqrt{65}}{10}+\frac{1}{2}\right) må være både ≤0 eller begge ≥0. Vurder saken når a-\left(\frac{\sqrt{65}}{10}+\frac{1}{2}\right) og a-\left(-\frac{\sqrt{65}}{10}+\frac{1}{2}\right) er begge ≤0.

$$a-\left(\frac{\sqrt{65}}{10}+\frac{1}{2}\right)\leq 0 a-\left(-\frac{\sqrt{65}}{10}+\frac{1}{2}\right)\leq 0$$

Løsningen som oppfyller begge ulikhetene, er a\leq -\frac{\sqrt{65}}{10}+\frac{1}{2}.

$$a\leq -\frac{\sqrt{65}}{10}+\frac{1}{2}$$

Vurder saken når a-\left(\frac{\sqrt{65}}{10}+\frac{1}{2}\right) og a-\left(-\frac{\sqrt{65}}{10}+\frac{1}{2}\right) er begge ≥0.

$$a-\left(-\frac{\sqrt{65}}{10}+\frac{1}{2}\right)\geq 0 a-\left(\frac{\sqrt{65}}{10}+\frac{1}{2}\right)\geq 0$$

Løsningen som oppfyller begge ulikhetene, er a\geq \frac{\sqrt{65}}{10}+\frac{1}{2}.

$$a\geq \frac{\sqrt{65}}{10}+\frac{1}{2}$$

Den siste løsningen er unionen av de oppnådde løsningene.

$$a\leq -\frac{\sqrt{65}}{10}+\frac{1}{2}\text{; }a\geq \frac{\sqrt{65}}{10}+\frac{1}{2}$$