Løs 5y^2-90y+54=0

$$5 { y }^{ 2 } -90y+54 = 0$$

Løs for y

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9\approx 17,378544026$$

$$y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9\approx 0,621455974$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$5y^{2}-90y+54=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 5 for a, -90 for b og 54 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{\left(-90\right)^{2}-4\times 5\times 54}}{2\times 5}$$

Kvadrer -90.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-4\times 5\times 54}}{2\times 5}$$

Multipliser -4 ganger 5.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-20\times 54}}{2\times 5}$$

Multipliser -20 ganger 54.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-1080}}{2\times 5}$$

Legg sammen 8100 og -1080.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{7020}}{2\times 5}$$

Ta kvadratroten av 7020.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±6\sqrt{195}}{2\times 5}$$

Det motsatte av -90 er 90.

$$y=\frac{90±6\sqrt{195}}{2\times 5}$$

Multipliser 2 ganger 5.

$$y=\frac{90±6\sqrt{195}}{10}$$

Nå kan du løse formelen y=\frac{90±6\sqrt{195}}{10} når ± er pluss. Legg sammen 90 og 6\sqrt{195}.

$$y=\frac{6\sqrt{195}+90}{10}$$

Del 90+6\sqrt{195} på 10.

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$

Nå kan du løse formelen y=\frac{90±6\sqrt{195}}{10} når ± er minus. Trekk fra 6\sqrt{195} fra 90.

$$y=\frac{90-6\sqrt{195}}{10}$$

Del 90-6\sqrt{195} på 10.

$$y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$

Ligningen er nå løst.

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9 y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$5y^{2}-90y+54=0$$

Trekk fra 54 fra begge sider av ligningen.

$$5y^{2}-90y+54-54=-54$$

Når du trekker fra 54 fra seg selv har du 0 igjen.

$$5y^{2}-90y=-54$$

Del begge sidene på 5.

$$\frac{5y^{2}-90y}{5}=-\frac{54}{5}$$

Hvis du deler på 5, gjør du om gangingen med 5.

$$y^{2}+\left(-\frac{90}{5}\right)y=-\frac{54}{5}$$

Del -90 på 5.

$$y^{2}-18y=-\frac{54}{5}$$

Del -18, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -9. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -9 på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$y^{2}-18y+\left(-9\right)^{2}=-\frac{54}{5}+\left(-9\right)^{2}$$

Kvadrer -9.

$$y^{2}-18y+81=-\frac{54}{5}+81$$

Legg sammen -\frac{54}{5} og 81.

$$y^{2}-18y+81=\frac{351}{5}$$

Faktoriser y^{2}-18y+81. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-9\right)^{2}=\frac{351}{5}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(y-9\right)^{2}}=\sqrt{\frac{351}{5}}$$

Forenkle.

$$y-9=\frac{3\sqrt{195}}{5} y-9=-\frac{3\sqrt{195}}{5}$$

Legg til 9 på begge sider av ligningen.

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9 y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$