Løs 5x^2-x-2184=0

$$5 { x }^{ 2 } -x-2184=0$$

Løs for x

$$x = -\frac{104}{5} = -20\frac{4}{5} = -20,8$$

$$x=21$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 5x^{2}+ax+bx-2184. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-1 ab=5\left(-2184\right)=-10920$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er negativ, har negative tallet større absolutt verdi enn positiv. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -10920.

$$1,-10920 2,-5460 3,-3640 4,-2730 5,-2184 6,-1820 7,-1560 8,-1365 10,-1092 12,-910 13,-840 14,-780 15,-728 20,-546 21,-520 24,-455 26,-420 28,-390 30,-364 35,-312 39,-280 40,-273 42,-260 52,-210 56,-195 60,-182 65,-168 70,-156 78,-140 84,-130 91,-120 104,-105$$

Beregn summen for hvert par.

$$1-10920=-10919 2-5460=-5458 3-3640=-3637 4-2730=-2726 5-2184=-2179 6-1820=-1814 7-1560=-1553 8-1365=-1357 10-1092=-1082 12-910=-898 13-840=-827 14-780=-766 15-728=-713 20-546=-526 21-520=-499 24-455=-431 26-420=-394 28-390=-362 30-364=-334 35-312=-277 39-280=-241 40-273=-233 42-260=-218 52-210=-158 56-195=-139 60-182=-122 65-168=-103 70-156=-86 78-140=-62 84-130=-46 91-120=-29 104-105=-1$$

Løsningen er paret som gir Summer -1.

$$a=-105 b=104$$

Skriv om 5x^{2}-x-2184 som \left(5x^{2}-105x\right)+\left(104x-2184\right).

$$\left(5x^{2}-105x\right)+\left(104x-2184\right)$$

Faktor ut 5x i den første og 104 i den andre gruppen.

$$5x\left(x-21\right)+104\left(x-21\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-21 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-21\right)\left(5x+104\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-21=0 og 5x+104=0.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$5x^{2}-x-2184=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 5 for a, -1 for b og -2184 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 5\left(-2184\right)}}{2\times 5}$$

Multipliser -4 ganger 5.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-20\left(-2184\right)}}{2\times 5}$$

Multipliser -20 ganger -2184.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+43680}}{2\times 5}$$

Legg sammen 1 og 43680.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{43681}}{2\times 5}$$

Ta kvadratroten av 43681.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±209}{2\times 5}$$

Det motsatte av -1 er 1.

$$x=\frac{1±209}{2\times 5}$$

Multipliser 2 ganger 5.

$$x=\frac{1±209}{10}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{1±209}{10} når ± er pluss. Legg sammen 1 og 209.

$$x=\frac{210}{10}$$

Del 210 på 10.

$$x=21$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{1±209}{10} når ± er minus. Trekk fra 209 fra 1.

$$x=-\frac{208}{10}$$

Forkort brøken \frac{-208}{10} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x=-\frac{104}{5}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-x-2184=0$$

Legg til 2184 på begge sider av ligningen.

$$5x^{2}-x-2184-\left(-2184\right)=-\left(-2184\right)$$

Når du trekker fra -2184 fra seg selv har du 0 igjen.

$$5x^{2}-x=-\left(-2184\right)$$

Trekk fra -2184 fra 0.

$$5x^{2}-x=2184$$

Del begge sidene på 5.

$$\frac{5x^{2}-x}{5}=\frac{2184}{5}$$

Hvis du deler på 5, gjør du om gangingen med 5.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x=\frac{2184}{5}$$

Del -\frac{1}{5}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{1}{10}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{1}{10} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{2184}{5}+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{1}{10} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{2184}{5}+\frac{1}{100}$$

Legg sammen \frac{2184}{5} og \frac{1}{100} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{43681}{100}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{43681}{100}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{43681}{100}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{1}{10}=\frac{209}{10} x-\frac{1}{10}=-\frac{209}{10}$$

Legg til \frac{1}{10} på begge sider av ligningen.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$