Løs 5x^2-4x+10=0

$$5 { x }^{ 2 } -4x+10 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{2+\sqrt{46}i}{5}\approx 0,4+1,356465997i$$

$$x=\frac{-\sqrt{46}i+2}{5}\approx 0,4-1,356465997i$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$5x^{2}-4x+10=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 5 for a, -4 for b og 10 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

Kvadrer -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

Multipliser -4 ganger 5.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-20\times 10}}{2\times 5}$$

Multipliser -20 ganger 10.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-200}}{2\times 5}$$

Legg sammen 16 og -200.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{-184}}{2\times 5}$$

Ta kvadratroten av -184.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{46}i}{2\times 5}$$

Det motsatte av -4 er 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{46}i}{2\times 5}$$

Multipliser 2 ganger 5.

$$x=\frac{4±2\sqrt{46}i}{10}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{4±2\sqrt{46}i}{10} når ± er pluss. Legg sammen 4 og 2i\sqrt{46}.

$$x=\frac{4+2\sqrt{46}i}{10}$$

Del 4+2i\sqrt{46} på 10.

$$x=\frac{2+\sqrt{46}i}{5}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{4±2\sqrt{46}i}{10} når ± er minus. Trekk fra 2i\sqrt{46} fra 4.

$$x=\frac{-2\sqrt{46}i+4}{10}$$

Del 4-2i\sqrt{46} på 10.

$$x=\frac{-\sqrt{46}i+2}{5}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{2+\sqrt{46}i}{5} x=\frac{-\sqrt{46}i+2}{5}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-4x+10=0$$

Trekk fra 10 fra begge sider av ligningen.

$$5x^{2}-4x+10-10=-10$$

Når du trekker fra 10 fra seg selv har du 0 igjen.

$$5x^{2}-4x=-10$$

Del begge sidene på 5.

$$\frac{5x^{2}-4x}{5}=-\frac{10}{5}$$

Hvis du deler på 5, gjør du om gangingen med 5.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x=-\frac{10}{5}$$

Del -10 på 5.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x=-2$$

Divider -\frac{4}{5}, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få -\frac{2}{5}. Legg deretter til kvadratet av -\frac{2}{5} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}=-2+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{2}{5} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-2+\frac{4}{25}$$

Legg sammen -2 og \frac{4}{25}.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-\frac{46}{25}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{46}{25}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{46}{25}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{2}{5}=\frac{\sqrt{46}i}{5} x-\frac{2}{5}=-\frac{\sqrt{46}i}{5}$$

Legg til \frac{2}{5} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{2+\sqrt{46}i}{5} x=\frac{-\sqrt{46}i+2}{5}$$