Løs 5x^2-41x+42

$$5 { x }^{ 2 } -41x+42$$

Faktoriser

$$\left(x-7\right)\left(5x-6\right)$$

Løsningstrinn

Faktor iser uttrykket ved å gruppere. Først må uttrykket omskrives som 5x^{2}+ax+bx+42. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-41 ab=5\times 42=210$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er negativ, er både a og b negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 210.

$$-1,-210 -2,-105 -3,-70 -5,-42 -6,-35 -7,-30 -10,-21 -14,-15$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1-210=-211 -2-105=-107 -3-70=-73 -5-42=-47 -6-35=-41 -7-30=-37 -10-21=-31 -14-15=-29$$

Løsningen er paret som gir Summer -41.

$$a=-35 b=-6$$

Skriv om 5x^{2}-41x+42 som \left(5x^{2}-35x\right)+\left(-6x+42\right).

$$\left(5x^{2}-35x\right)+\left(-6x+42\right)$$

Faktor ut 5x i den første og -6 i den andre gruppen.

$$5x\left(x-7\right)-6\left(x-7\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-7 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-7\right)\left(5x-6\right)$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Kvadratisk ligning for polynom kan faktoriseres ved hjelp av transformasjonen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), der x_{1} og x_{2} er løsningene for den kvadratiske ligningen ax^{2}+bx+c=0.

$$5x^{2}-41x+42=0$$

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{\left(-41\right)^{2}-4\times 5\times 42}}{2\times 5}$$

Kvadrer -41.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-4\times 5\times 42}}{2\times 5}$$

Multipliser -4 ganger 5.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-20\times 42}}{2\times 5}$$

Multipliser -20 ganger 42.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-840}}{2\times 5}$$

Legg sammen 1681 og -840.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{841}}{2\times 5}$$

Ta kvadratroten av 841.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±29}{2\times 5}$$

Det motsatte av -41 er 41.

$$x=\frac{41±29}{2\times 5}$$

Multipliser 2 ganger 5.

$$x=\frac{41±29}{10}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{41±29}{10} når ± er pluss. Legg sammen 41 og 29.

$$x=\frac{70}{10}$$

Del 70 på 10.

$$x=7$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{41±29}{10} når ± er minus. Trekk fra 29 fra 41.

$$x=\frac{12}{10}$$

Forkort brøken \frac{12}{10} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x=\frac{6}{5}$$

Faktoriser det opprinnelige uttrykket ved hjelp av ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Erstatt 7 med x_{1} og \frac{6}{5} med x_{2}.

$$5x^{2}-41x+42=5\left(x-7\right)\left(x-\frac{6}{5}\right)$$

Trekk fra \frac{6}{5} fra x ved å finne en fellesnevner og trekke fra tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$5x^{2}-41x+42=5\left(x-7\right)\times \frac{5x-6}{5}$$

Opphev den største felles faktoren 5 i 5 og 5.

$$5x^{2}-41x+42=\left(x-7\right)\left(5x-6\right)$$

Evaluer

$$\left(x-7\right)\left(5x-6\right)$$