Løs 5x^2-29x-42=0

$$5 { x }^{ 2 } -29x-42=0$$

Løs for x

$$x = -\frac{6}{5} = -1\frac{1}{5} = -1,2$$

$$x=7$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 5x^{2}+ax+bx-42. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-29 ab=5\left(-42\right)=-210$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er negativ, har negative tallet større absolutt verdi enn positiv. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Beregn summen for hvert par.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

Løsningen er paret som gir Summer -29.

$$a=-35 b=6$$

Skriv om 5x^{2}-29x-42 som \left(5x^{2}-35x\right)+\left(6x-42\right).

$$\left(5x^{2}-35x\right)+\left(6x-42\right)$$

Faktor ut 5x i den første og 6 i den andre gruppen.

$$5x\left(x-7\right)+6\left(x-7\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-7 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-7\right)\left(5x+6\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-7=0 og 5x+6=0.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$5x^{2}-29x-42=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 5 for a, -29 for b og -42 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{\left(-29\right)^{2}-4\times 5\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Kvadrer -29.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-4\times 5\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Multipliser -4 ganger 5.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-20\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Multipliser -20 ganger -42.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841+840}}{2\times 5}$$

Legg sammen 841 og 840.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{1681}}{2\times 5}$$

Ta kvadratroten av 1681.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±41}{2\times 5}$$

Det motsatte av -29 er 29.

$$x=\frac{29±41}{2\times 5}$$

Multipliser 2 ganger 5.

$$x=\frac{29±41}{10}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{29±41}{10} når ± er pluss. Legg sammen 29 og 41.

$$x=\frac{70}{10}$$

Del 70 på 10.

$$x=7$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{29±41}{10} når ± er minus. Trekk fra 41 fra 29.

$$x=-\frac{12}{10}$$

Forkort brøken \frac{-12}{10} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x=-\frac{6}{5}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-29x-42=0$$

Legg til 42 på begge sider av ligningen.

$$5x^{2}-29x-42-\left(-42\right)=-\left(-42\right)$$

Når du trekker fra -42 fra seg selv har du 0 igjen.

$$5x^{2}-29x=-\left(-42\right)$$

Trekk fra -42 fra 0.

$$5x^{2}-29x=42$$

Del begge sidene på 5.

$$\frac{5x^{2}-29x}{5}=\frac{42}{5}$$

Hvis du deler på 5, gjør du om gangingen med 5.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x=\frac{42}{5}$$

Del -\frac{29}{5}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{29}{10}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{29}{10} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\left(-\frac{29}{10}\right)^{2}=\frac{42}{5}+\left(-\frac{29}{10}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{29}{10} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}=\frac{42}{5}+\frac{841}{100}$$

Legg sammen \frac{42}{5} og \frac{841}{100} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}=\frac{1681}{100}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{29}{10}\right)^{2}=\frac{1681}{100}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{29}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{100}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{29}{10}=\frac{41}{10} x-\frac{29}{10}=-\frac{41}{10}$$

Legg til \frac{29}{10} på begge sider av ligningen.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$