Løs 5x^2-12x-7=0

$$5 { x }^{ 2 } -12x-7=0$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{71} + 6}{5} \approx 2,885229955$$

$$x=\frac{6-\sqrt{71}}{5}\approx -0,485229955$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$5x^{2}-12x-7=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 5 for a, -12 for b og -7 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 5\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

Kvadrer -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 5\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

Multipliser -4 ganger 5.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-20\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

Multipliser -20 ganger -7.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+140}}{2\times 5}$$

Legg sammen 144 og 140.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{284}}{2\times 5}$$

Ta kvadratroten av 284.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±2\sqrt{71}}{2\times 5}$$

Det motsatte av -12 er 12.

$$x=\frac{12±2\sqrt{71}}{2\times 5}$$

Multipliser 2 ganger 5.

$$x=\frac{12±2\sqrt{71}}{10}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{12±2\sqrt{71}}{10} når ± er pluss. Legg sammen 12 og 2\sqrt{71}.

$$x=\frac{2\sqrt{71}+12}{10}$$

Del 12+2\sqrt{71} på 10.

$$x=\frac{\sqrt{71}+6}{5}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{12±2\sqrt{71}}{10} når ± er minus. Trekk fra 2\sqrt{71} fra 12.

$$x=\frac{12-2\sqrt{71}}{10}$$

Del 12-2\sqrt{71} på 10.

$$x=\frac{6-\sqrt{71}}{5}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{\sqrt{71}+6}{5} x=\frac{6-\sqrt{71}}{5}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-12x-7=0$$

Legg til 7 på begge sider av ligningen.

$$5x^{2}-12x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Når du trekker fra -7 fra seg selv har du 0 igjen.

$$5x^{2}-12x=-\left(-7\right)$$

Trekk fra -7 fra 0.

$$5x^{2}-12x=7$$

Del begge sidene på 5.

$$\frac{5x^{2}-12x}{5}=\frac{7}{5}$$

Hvis du deler på 5, gjør du om gangingen med 5.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x=\frac{7}{5}$$

Del -\frac{12}{5}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{6}{5}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{6}{5} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\left(-\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{7}{5}+\left(-\frac{6}{5}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{6}{5} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=\frac{7}{5}+\frac{36}{25}$$

Legg sammen \frac{7}{5} og \frac{36}{25} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=\frac{71}{25}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{71}{25}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{71}{25}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{6}{5}=\frac{\sqrt{71}}{5} x-\frac{6}{5}=-\frac{\sqrt{71}}{5}$$

Legg til \frac{6}{5} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{71}+6}{5} x=\frac{6-\sqrt{71}}{5}$$