Løs 5x^2-10x-15=0

$$5 { x }^{ 2 } -10x-15=0$$

Løs for x

$$x=-1$$

$$x=3$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Del begge sidene på 5.

$$x^{2}-2x-3=0$$

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som x^{2}+ax+bx-3. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-2 ab=1\left(-3\right)=-3$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er negativ, har negative tallet større absolutt verdi enn positiv. Det eneste paret er system løsningen.

$$a=-3 b=1$$

Skriv om x^{2}-2x-3 som \left(x^{2}-3x\right)+\left(x-3\right).

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(x-3\right)$$

Faktorer ut x i x^{2}-3x.

$$x\left(x-3\right)+x-3$$

Faktorer ut det felles leddet x-3 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-3\right)\left(x+1\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-3=0 og x+1=0.

$$x=3 x=-1$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$5x^{2}-10x-15=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 5 for a, -10 for b og -15 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 5\left(-15\right)}}{2\times 5}$$

Kvadrer -10.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 5\left(-15\right)}}{2\times 5}$$

Multipliser -4 ganger 5.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-20\left(-15\right)}}{2\times 5}$$

Multipliser -20 ganger -15.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+300}}{2\times 5}$$

Legg sammen 100 og 300.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{400}}{2\times 5}$$

Ta kvadratroten av 400.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±20}{2\times 5}$$

Det motsatte av -10 er 10.

$$x=\frac{10±20}{2\times 5}$$

Multipliser 2 ganger 5.

$$x=\frac{10±20}{10}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{10±20}{10} når ± er pluss. Legg sammen 10 og 20.

$$x=\frac{30}{10}$$

Del 30 på 10.

$$x=3$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{10±20}{10} når ± er minus. Trekk fra 20 fra 10.

$$x=-\frac{10}{10}$$

Del -10 på 10.

$$x=-1$$

Ligningen er nå løst.

$$x=3 x=-1$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-10x-15=0$$

Legg til 15 på begge sider av ligningen.

$$5x^{2}-10x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Når du trekker fra -15 fra seg selv har du 0 igjen.

$$5x^{2}-10x=-\left(-15\right)$$

Trekk fra -15 fra 0.

$$5x^{2}-10x=15$$

Del begge sidene på 5.

$$\frac{5x^{2}-10x}{5}=\frac{15}{5}$$

Hvis du deler på 5, gjør du om gangingen med 5.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{5}\right)x=\frac{15}{5}$$

Del -10 på 5.

$$x^{2}-2x=\frac{15}{5}$$

Del 15 på 5.

$$x^{2}-2x=3$$

Del -2, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -1. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -1 på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-2x+1=3+1$$

Legg sammen 3 og 1.

$$x^{2}-2x+1=4$$

Faktoriser x^{2}-2x+1. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=4$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Forenkle.

$$x-1=2 x-1=-2$$

Legg til 1 på begge sider av ligningen.

$$x=3 x=-1$$