Løs 5x^2+x-4=0

$$5 { x }^{ 2 } +x-4=0$$

Løs for x

$$x=-1$$

$$x=\frac{4}{5}=0,8$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 5x^{2}+ax+bx-4. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=1 ab=5\left(-4\right)=-20$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -20.

$$-1,20 -2,10 -4,5$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1+20=19 -2+10=8 -4+5=1$$

Løsningen er paret som gir Summer 1.

$$a=-4 b=5$$

Skriv om 5x^{2}+x-4 som \left(5x^{2}-4x\right)+\left(5x-4\right).

$$\left(5x^{2}-4x\right)+\left(5x-4\right)$$

Faktorer ut x i 5x^{2}-4x.

$$x\left(5x-4\right)+5x-4$$

Faktorer ut det felles leddet 5x-4 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(5x-4\right)\left(x+1\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse 5x-4=0 og x+1=0.

$$x=\frac{4}{5} x=-1$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$5x^{2}+x-4=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 5 for a, 1 for b og -4 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 5\left(-4\right)}}{2\times 5}$$

Kvadrer 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 5\left(-4\right)}}{2\times 5}$$

Multipliser -4 ganger 5.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-20\left(-4\right)}}{2\times 5}$$

Multipliser -20 ganger -4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+80}}{2\times 5}$$

Legg sammen 1 og 80.

$$x=\frac{-1±\sqrt{81}}{2\times 5}$$

Ta kvadratroten av 81.

$$x=\frac{-1±9}{2\times 5}$$

Multipliser 2 ganger 5.

$$x=\frac{-1±9}{10}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-1±9}{10} når ± er pluss. Legg sammen -1 og 9.

$$x=\frac{8}{10}$$

Forkort brøken \frac{8}{10} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x=\frac{4}{5}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-1±9}{10} når ± er minus. Trekk fra 9 fra -1.

$$x=-\frac{10}{10}$$

Del -10 på 10.

$$x=-1$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{4}{5} x=-1$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+x-4=0$$

Legg til 4 på begge sider av ligningen.

$$5x^{2}+x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Når du trekker fra -4 fra seg selv har du 0 igjen.

$$5x^{2}+x=-\left(-4\right)$$

Trekk fra -4 fra 0.

$$5x^{2}+x=4$$

Del begge sidene på 5.

$$\frac{5x^{2}+x}{5}=\frac{4}{5}$$

Hvis du deler på 5, gjør du om gangingen med 5.

$$x^{2}+\frac{1}{5}x=\frac{4}{5}$$

Del \frac{1}{5}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{1}{10}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{1}{10} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+\frac{1}{5}x+\left(\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{4}{5}+\left(\frac{1}{10}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{1}{10} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{4}{5}+\frac{1}{100}$$

Legg sammen \frac{4}{5} og \frac{1}{100} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}+\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{81}{100}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{81}{100}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{100}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{1}{10}=\frac{9}{10} x+\frac{1}{10}=-\frac{9}{10}$$

Trekk fra \frac{1}{10} fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{4}{5} x=-1$$