Løs 5x^2+5x+9=0

$$5 { x }^{ 2 } +5x+9=0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2}\approx -0,5+1,24498996i$$

$$x=-\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2}\approx -0,5-1,24498996i$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$5x^{2}+5x+9=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 5 for a, 5 for b og 9 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 5\times 9}}{2\times 5}$$

Kvadrer 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 5\times 9}}{2\times 5}$$

Multipliser -4 ganger 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-20\times 9}}{2\times 5}$$

Multipliser -20 ganger 9.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-180}}{2\times 5}$$

Legg sammen 25 og -180.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-155}}{2\times 5}$$

Ta kvadratroten av -155.

$$x=\frac{-5±\sqrt{155}i}{2\times 5}$$

Multipliser 2 ganger 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{155}i}{10}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-5±\sqrt{155}i}{10} når ± er pluss. Legg sammen -5 og i\sqrt{155}.

$$x=\frac{-5+\sqrt{155}i}{10}$$

Del -5+i\sqrt{155} på 10.

$$x=\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-5±\sqrt{155}i}{10} når ± er minus. Trekk fra i\sqrt{155} fra -5.

$$x=\frac{-\sqrt{155}i-5}{10}$$

Del -5-i\sqrt{155} på 10.

$$x=-\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+5x+9=0$$

Trekk fra 9 fra begge sider av ligningen.

$$5x^{2}+5x+9-9=-9$$

Når du trekker fra 9 fra seg selv har du 0 igjen.

$$5x^{2}+5x=-9$$

Del begge sidene på 5.

$$\frac{5x^{2}+5x}{5}=-\frac{9}{5}$$

Hvis du deler på 5, gjør du om gangingen med 5.

$$x^{2}+\frac{5}{5}x=-\frac{9}{5}$$

Del 5 på 5.

$$x^{2}+x=-\frac{9}{5}$$

Del 1, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{1}{2}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{1}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{5}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{1}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{9}{5}+\frac{1}{4}$$

Legg sammen -\frac{9}{5} og \frac{1}{4} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{31}{20}$$

Faktoriser x^{2}+x+\frac{1}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{31}{20}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{31}{20}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{155}i}{10} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{155}i}{10}$$

Trekk fra \frac{1}{2} fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2}$$