Løs 4x-3x^2+15=0

$$4x-3 { x }^{ 2 } +15=0$$

Løs for x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$x=3$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Skriv polynomet på standardform ved å plassere leddene i rekkefølge fra høyeste til laveste potens.

$$-3x^{2}+4x+15=0$$

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som -3x^{2}+ax+bx+15. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=4 ab=-3\times 15=-45$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -45.

$$-1,45 -3,15 -5,9$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1+45=44 -3+15=12 -5+9=4$$

Løsningen er paret som gir Summer 4.

$$a=9 b=-5$$

Skriv om -3x^{2}+4x+15 som \left(-3x^{2}+9x\right)+\left(-5x+15\right).

$$\left(-3x^{2}+9x\right)+\left(-5x+15\right)$$

Faktor ut 3x i den første og 5 i den andre gruppen.

$$3x\left(-x+3\right)+5\left(-x+3\right)$$

Faktorer ut det felles leddet -x+3 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(-x+3\right)\left(3x+5\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse -x+3=0 og 3x+5=0.

$$x=3 x=-\frac{5}{3}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$-3x^{2}+4x+15=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn -3 for a, 4 for b og 15 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-3\right)\times 15}}{2\left(-3\right)}$$

Kvadrer 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-3\right)\times 15}}{2\left(-3\right)}$$

Multipliser -4 ganger -3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+12\times 15}}{2\left(-3\right)}$$

Multipliser 12 ganger 15.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+180}}{2\left(-3\right)}$$

Legg sammen 16 og 180.

$$x=\frac{-4±\sqrt{196}}{2\left(-3\right)}$$

Ta kvadratroten av 196.

$$x=\frac{-4±14}{2\left(-3\right)}$$

Multipliser 2 ganger -3.

$$x=\frac{-4±14}{-6}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-4±14}{-6} når ± er pluss. Legg sammen -4 og 14.

$$x=\frac{10}{-6}$$

Forkort brøken \frac{10}{-6} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-4±14}{-6} når ± er minus. Trekk fra 14 fra -4.

$$x=-\frac{18}{-6}$$

Del -18 på -6.

$$x=3$$

Ligningen er nå løst.

$$x=-\frac{5}{3} x=3$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+4x+15=0$$

Trekk fra 15 fra begge sider av ligningen.

$$-3x^{2}+4x+15-15=-15$$

Når du trekker fra 15 fra seg selv har du 0 igjen.

$$-3x^{2}+4x=-15$$

Del begge sidene på -3.

$$\frac{-3x^{2}+4x}{-3}=-\frac{15}{-3}$$

Hvis du deler på -3, gjør du om gangingen med -3.

$$x^{2}+\frac{4}{-3}x=-\frac{15}{-3}$$

Del 4 på -3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=-\frac{15}{-3}$$

Del -15 på -3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=5$$

Del -\frac{4}{3}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{2}{3}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{2}{3} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=5+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{2}{3} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=5+\frac{4}{9}$$

Legg sammen 5 og \frac{4}{9}.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{49}{9}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{7}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{7}{3}$$

Legg til \frac{2}{3} på begge sider av ligningen.

$$x=3 x=-\frac{5}{3}$$