Løs 48x^2+24x-1geq0

$$48 x ^ { 2 } + 24 x - 1 \geq 0$$

Løs for x

$$x\in (-\infty,-\frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{1}{4}]\cup [\frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{1}{4},\infty)$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Faktoriser venstre side for å løse ulikheten. Kvadratisk ligning for polynom kan faktoriseres ved hjelp av transformasjonen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), der x_{1} og x_{2} er løsningene for den kvadratiske ligningen ax^{2}+bx+c=0.

$$48x^{2}+24x-1=0$$

Alle ligningene av typen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske ligningen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstatt 48 med a, 24 med b, og -1 med c i den kvadratiske ligningen.

$$x=\frac{-24±\sqrt{24^{2}-4\times 48\left(-1\right)}}{2\times 48}$$

Utfør beregningene.

$$x=\frac{-24±16\sqrt{3}}{96}$$

Løs ligningen x=\frac{-24±16\sqrt{3}}{96} når ± er pluss og ± er minus.

$$x=\frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{1}{4} x=-\frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{1}{4}$$

Skriv om ulikheten ved hjelp av de oppnådde løsningene.

$$48\left(x-\left(\frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{1}{4}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{1}{4}\right)\right)\geq 0$$

For at produktet skal være ≥0, x-\left(\frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{1}{4}\right) og x-\left(-\frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{1}{4}\right) må være både ≤0 eller begge ≥0. Vurder saken når x-\left(\frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{1}{4}\right) og x-\left(-\frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{1}{4}\right) er begge ≤0.

$$x-\left(\frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{1}{4}\right)\leq 0 x-\left(-\frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{1}{4}\right)\leq 0$$

Løsningen som oppfyller begge ulikhetene, er x\leq -\frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{1}{4}.

$$x\leq -\frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{1}{4}$$

Vurder saken når x-\left(\frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{1}{4}\right) og x-\left(-\frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{1}{4}\right) er begge ≥0.

$$x-\left(-\frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{1}{4}\right)\geq 0 x-\left(\frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{1}{4}\right)\geq 0$$

Løsningen som oppfyller begge ulikhetene, er x\geq \frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{1}{4}.

$$x\geq \frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{1}{4}$$

Den siste løsningen er unionen av de oppnådde løsningene.

$$x\leq -\frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{1}{4}\text{; }x\geq \frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{1}{4}$$