Løs 42x^2-5x-3=0

$$42 x ^ { 2 } - 5 x - 3 = 0$$

Løs for x

$$x=-\frac{3}{14}\approx -0,214285714$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 42x^{2}+ax+bx-3. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-5 ab=42\left(-3\right)=-126$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er negativ, har negative tallet større absolutt verdi enn positiv. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -126.

$$1,-126 2,-63 3,-42 6,-21 7,-18 9,-14$$

Beregn summen for hvert par.

$$1-126=-125 2-63=-61 3-42=-39 6-21=-15 7-18=-11 9-14=-5$$

Løsningen er paret som gir Summer -5.

$$a=-14 b=9$$

Skriv om 42x^{2}-5x-3 som \left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right).

$$\left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right)$$

Faktor ut 14x i den første og 3 i den andre gruppen.

$$14x\left(3x-1\right)+3\left(3x-1\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 3x-1 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(3x-1\right)\left(14x+3\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse 3x-1=0 og 14x+3=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$42x^{2}-5x-3=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 42 for a, -5 for b og -3 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Kvadrer -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Multipliser -4 ganger 42.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-168\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Multipliser -168 ganger -3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+504}}{2\times 42}$$

Legg sammen 25 og 504.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{529}}{2\times 42}$$

Ta kvadratroten av 529.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±23}{2\times 42}$$

Det motsatte av -5 er 5.

$$x=\frac{5±23}{2\times 42}$$

Multipliser 2 ganger 42.

$$x=\frac{5±23}{84}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{5±23}{84} når ± er pluss. Legg sammen 5 og 23.

$$x=\frac{28}{84}$$

Forkort brøken \frac{28}{84} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 28.

$$x=\frac{1}{3}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{5±23}{84} når ± er minus. Trekk fra 23 fra 5.

$$x=-\frac{18}{84}$$

Forkort brøken \frac{-18}{84} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 6.

$$x=-\frac{3}{14}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$42x^{2}-5x-3=0$$

Legg til 3 på begge sider av ligningen.

$$42x^{2}-5x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Når du trekker fra -3 fra seg selv har du 0 igjen.

$$42x^{2}-5x=-\left(-3\right)$$

Trekk fra -3 fra 0.

$$42x^{2}-5x=3$$

Del begge sidene på 42.

$$\frac{42x^{2}-5x}{42}=\frac{3}{42}$$

Hvis du deler på 42, gjør du om gangingen med 42.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{3}{42}$$

Forkort brøken \frac{3}{42} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 3.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{1}{14}$$

Del -\frac{5}{42}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{5}{84}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{5}{84} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{1}{14}+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{5}{84} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{1}{14}+\frac{25}{7056}$$

Legg sammen \frac{1}{14} og \frac{25}{7056} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{529}{7056}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{529}{7056}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{7056}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{5}{84}=\frac{23}{84} x-\frac{5}{84}=-\frac{23}{84}$$

Legg til \frac{5}{84} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$