Løs 419x^2-918x+459=0

$$419 x ^ { 2 } - 918 x + 459 = 0$$

Løs for x

$$x = \frac{6 \sqrt{510} + 459}{419} \approx 1,418852214$$

$$x=\frac{459-6\sqrt{510}}{419}\approx 0,772078574$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$419x^{2}-918x+459=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 419 for a, -918 for b og 459 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-918\right)±\sqrt{\left(-918\right)^{2}-4\times 419\times 459}}{2\times 419}$$

Kvadrer -918.

$$x=\frac{-\left(-918\right)±\sqrt{842724-4\times 419\times 459}}{2\times 419}$$

Multipliser -4 ganger 419.

$$x=\frac{-\left(-918\right)±\sqrt{842724-1676\times 459}}{2\times 419}$$

Multipliser -1676 ganger 459.

$$x=\frac{-\left(-918\right)±\sqrt{842724-769284}}{2\times 419}$$

Legg sammen 842724 og -769284.

$$x=\frac{-\left(-918\right)±\sqrt{73440}}{2\times 419}$$

Ta kvadratroten av 73440.

$$x=\frac{-\left(-918\right)±12\sqrt{510}}{2\times 419}$$

Det motsatte av -918 er 918.

$$x=\frac{918±12\sqrt{510}}{2\times 419}$$

Multipliser 2 ganger 419.

$$x=\frac{918±12\sqrt{510}}{838}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{918±12\sqrt{510}}{838} når ± er pluss. Legg sammen 918 og 12\sqrt{510}.

$$x=\frac{12\sqrt{510}+918}{838}$$

Del 918+12\sqrt{510} på 838.

$$x=\frac{6\sqrt{510}+459}{419}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{918±12\sqrt{510}}{838} når ± er minus. Trekk fra 12\sqrt{510} fra 918.

$$x=\frac{918-12\sqrt{510}}{838}$$

Del 918-12\sqrt{510} på 838.

$$x=\frac{459-6\sqrt{510}}{419}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{6\sqrt{510}+459}{419} x=\frac{459-6\sqrt{510}}{419}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$419x^{2}-918x+459=0$$

Trekk fra 459 fra begge sider av ligningen.

$$419x^{2}-918x+459-459=-459$$

Når du trekker fra 459 fra seg selv har du 0 igjen.

$$419x^{2}-918x=-459$$

Del begge sidene på 419.

$$\frac{419x^{2}-918x}{419}=-\frac{459}{419}$$

Hvis du deler på 419, gjør du om gangingen med 419.

$$x^{2}-\frac{918}{419}x=-\frac{459}{419}$$

Del -\frac{918}{419}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{459}{419}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{459}{419} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{918}{419}x+\left(-\frac{459}{419}\right)^{2}=-\frac{459}{419}+\left(-\frac{459}{419}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{459}{419} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{918}{419}x+\frac{210681}{175561}=-\frac{459}{419}+\frac{210681}{175561}$$

Legg sammen -\frac{459}{419} og \frac{210681}{175561} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{918}{419}x+\frac{210681}{175561}=\frac{18360}{175561}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{918}{419}x+\frac{210681}{175561}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{459}{419}\right)^{2}=\frac{18360}{175561}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{459}{419}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{18360}{175561}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{459}{419}=\frac{6\sqrt{510}}{419} x-\frac{459}{419}=-\frac{6\sqrt{510}}{419}$$

Legg til \frac{459}{419} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{6\sqrt{510}+459}{419} x=\frac{459-6\sqrt{510}}{419}$$