Løs 40x+2x(30-2x)=200

$$40x+2x(30-2x)=200$$

Løs for x

$$x = \frac{5 \sqrt{17} + 25}{2} \approx 22,807764064$$

$$x = \frac{25 - 5 \sqrt{17}}{2} \approx 2,192235936$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Bruk den distributive lov til å multiplisere 2x med 30-2x.

$$40x+60x-4x^{2}=200$$

Kombiner 40x og 60x for å få 100x.

$$100x-4x^{2}=200$$

Trekk fra 200 fra begge sider.

$$100x-4x^{2}-200=0$$

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$-4x^{2}+100x-200=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn -4 for a, 100 for b og -200 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-100±\sqrt{100^{2}-4\left(-4\right)\left(-200\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Kvadrer 100.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000-4\left(-4\right)\left(-200\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multipliser -4 ganger -4.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000+16\left(-200\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multipliser 16 ganger -200.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000-3200}}{2\left(-4\right)}$$

Legg sammen 10000 og -3200.

$$x=\frac{-100±\sqrt{6800}}{2\left(-4\right)}$$

Ta kvadratroten av 6800.

$$x=\frac{-100±20\sqrt{17}}{2\left(-4\right)}$$

Multipliser 2 ganger -4.

$$x=\frac{-100±20\sqrt{17}}{-8}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-100±20\sqrt{17}}{-8} når ± er pluss. Legg sammen -100 og 20\sqrt{17}.

$$x=\frac{20\sqrt{17}-100}{-8}$$

Del -100+20\sqrt{17} på -8.

$$x=\frac{25-5\sqrt{17}}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-100±20\sqrt{17}}{-8} når ± er minus. Trekk fra 20\sqrt{17} fra -100.

$$x=\frac{-20\sqrt{17}-100}{-8}$$

Del -100-20\sqrt{17} på -8.

$$x=\frac{5\sqrt{17}+25}{2}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{25-5\sqrt{17}}{2} x=\frac{5\sqrt{17}+25}{2}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Bruk den distributive lov til å multiplisere 2x med 30-2x.

$$40x+60x-4x^{2}=200$$

Kombiner 40x og 60x for å få 100x.

$$100x-4x^{2}=200$$

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$-4x^{2}+100x=200$$

Del begge sidene på -4.

$$\frac{-4x^{2}+100x}{-4}=\frac{200}{-4}$$

Hvis du deler på -4, gjør du om gangingen med -4.

$$x^{2}+\frac{100}{-4}x=\frac{200}{-4}$$

Del 100 på -4.

$$x^{2}-25x=\frac{200}{-4}$$

Del 200 på -4.

$$x^{2}-25x=-50$$

Del -25, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{25}{2}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{25}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-25x+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}=-50+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{25}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-25x+\frac{625}{4}=-50+\frac{625}{4}$$

Legg sammen -50 og \frac{625}{4}.

$$x^{2}-25x+\frac{625}{4}=\frac{425}{4}$$

Faktoriser x^{2}-25x+\frac{625}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}=\frac{425}{4}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{425}{4}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{25}{2}=\frac{5\sqrt{17}}{2} x-\frac{25}{2}=-\frac{5\sqrt{17}}{2}$$

Legg til \frac{25}{2} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{5\sqrt{17}+25}{2} x=\frac{25-5\sqrt{17}}{2}$$