Løs 40x^2-14x+1=0

$$40 { x }^{ 2 } -14x+1=0$$

Løs for x

$$x=\frac{1}{10}=0,1$$

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 40x^{2}+ax+bx+1. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-14 ab=40\times 1=40$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er negativ, er både a og b negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 40.

$$-1,-40 -2,-20 -4,-10 -5,-8$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1-40=-41 -2-20=-22 -4-10=-14 -5-8=-13$$

Løsningen er paret som gir Summer -14.

$$a=-10 b=-4$$

Skriv om 40x^{2}-14x+1 som \left(40x^{2}-10x\right)+\left(-4x+1\right).

$$\left(40x^{2}-10x\right)+\left(-4x+1\right)$$

Faktor ut 10x i den første og -1 i den andre gruppen.

$$10x\left(4x-1\right)-\left(4x-1\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 4x-1 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(4x-1\right)\left(10x-1\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse 4x-1=0 og 10x-1=0.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$40x^{2}-14x+1=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 40 for a, -14 for b og 1 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 40}}{2\times 40}$$

Kvadrer -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 40}}{2\times 40}$$

Multipliser -4 ganger 40.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-160}}{2\times 40}$$

Legg sammen 196 og -160.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{36}}{2\times 40}$$

Ta kvadratroten av 36.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±6}{2\times 40}$$

Det motsatte av -14 er 14.

$$x=\frac{14±6}{2\times 40}$$

Multipliser 2 ganger 40.

$$x=\frac{14±6}{80}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{14±6}{80} når ± er pluss. Legg sammen 14 og 6.

$$x=\frac{20}{80}$$

Forkort brøken \frac{20}{80} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 20.

$$x=\frac{1}{4}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{14±6}{80} når ± er minus. Trekk fra 6 fra 14.

$$x=\frac{8}{80}$$

Forkort brøken \frac{8}{80} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 8.

$$x=\frac{1}{10}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$40x^{2}-14x+1=0$$

Trekk fra 1 fra begge sider av ligningen.

$$40x^{2}-14x+1-1=-1$$

Når du trekker fra 1 fra seg selv har du 0 igjen.

$$40x^{2}-14x=-1$$

Del begge sidene på 40.

$$\frac{40x^{2}-14x}{40}=-\frac{1}{40}$$

Hvis du deler på 40, gjør du om gangingen med 40.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{40}\right)x=-\frac{1}{40}$$

Forkort brøken \frac{-14}{40} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x=-\frac{1}{40}$$

Del -\frac{7}{20}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{7}{40}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{7}{40} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\left(-\frac{7}{40}\right)^{2}=-\frac{1}{40}+\left(-\frac{7}{40}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{7}{40} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}=-\frac{1}{40}+\frac{49}{1600}$$

Legg sammen -\frac{1}{40} og \frac{49}{1600} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}=\frac{9}{1600}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{40}\right)^{2}=\frac{9}{1600}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{1600}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{7}{40}=\frac{3}{40} x-\frac{7}{40}=-\frac{3}{40}$$

Legg til \frac{7}{40} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$